名古屋大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
3人がそれぞれ独立に3種類の手を出すので、1回の出方は全部で$$3^3=27\text{通り}$$である。

3人のままであるのは、全員が同じ手を出す3通りと、3人がグー・チョキ・パーを1つずつ出す6通りである。よって、その確率は$$\frac{3+6}{27}=\frac{1}{3}$$である。

2人が残るには、2人が同じ勝つ手を出し、残る1人がそれに負ける手を出せばよい。勝つ手の選び方が3通り、負ける人の選び方が3通りあるから、その確率は$$\frac{3\cdot 3}{27}=\frac{1}{3}$$である。したがって$$p_1=\frac{1}{3},q_1=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(2)
3人の状態から次も3人である確率、3人から2人になる確率は、ともに ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。また、2人の状態でアイコとなり、次も2人である確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。よって$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{p}_n+\frac{1}{3}{q}_n,}\\ {\displaystyle q_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{q}_n\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$$q_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ だから$$q_n=\frac{1}{3^n}\mathrm{.}$$次に$$r_n=3^n{p}_n$$とおく。(1)の第1式を用いると$$3^{n+1}{p}_{n+1}=3^n{p}_n+3^n{q}_n$$であり、$3^n{q}_n=1$ なので$$r_{n+1}=r_n+1.$$初期値は $r_1=3p_1=1$ であるから $r_n=n$ となる。したがって$$p_n=\frac{n}{3^n},q_n=\frac{1}{3^n}\mathrm{.}$$(3)
$n\geqq 2$ とする。$n-1$ 回目終了時に2人が残っていれば、次の1回で勝敗がつく確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。3人が残っていれば、次の1回で1人だけが勝つ確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。ゆえに、ちょうど $n$ 回目で1人に決まる確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2}{3}{p}_{n-1}+\frac{1}{3}{q}_{n-1}}& {\displaystyle =\frac{2}{3}\cdot \frac{n-1}{3^{n-1}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3^{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2n-1}{3^n}\mathrm{.}}\end{array}$$$n=1$ のときも、3人から1人に決まる確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ であり、この式の値と一致する。よって求める確率は$$\frac{2n-1}{3^n}$$である。

状態遷移を図にすると、漸化式では「どの状態から入ってくるか」を足し合わせればよいことが見える。

漸化式を解かず、$n$ 回の間に状態が変わる時刻を直接数える。3人のまま $n$ 回続く確率から $q_n$ を求める。2人が残るには、3人から2人への移行がちょうど1回だけ起こるので、その回を $j$ 回目として $j=1,\dots ,n$ を足す。終了時刻の確率は、$n-1$ 回終了時点で未終了である確率と、$n$ 回終了時点で未終了である確率との差で求める。

(1)
3人で1回行ったとき、3人のまま、2人になる、1人に決まる出方は、それぞれ9通りずつである。したがって$$p_1=q_1=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(2)
$n$ 回終了時にも3人が残るには、毎回3人のままでなければならない。各回の確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ だから$$q_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{1}{3^n}\mathrm{.}$$次に、$n$ 回終了時に2人が残るとする。3人から2人になるのが $j$ 回目であれば、$$\underset{(1\mathrm{/}3{)}^{j-1}}{\underbrace{\text{最初の }j-1\text{ 回は3人のまま}}},\underset{1\mathrm{/}3}{\underbrace{j\text{ 回目に2人になる}}},\underset{(1\mathrm{/}3{)}^{n-j}}{\underbrace{\text{残り }n-j\text{ 回は2人のまま}}}$$である。その確率は、$j$ によらず$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{j-1}\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-j}=\frac{1}{3^n}$$となる。$j=1,2,\dots ,n$ の $n$ 通りは互いに重ならないので$$p_n=\frac{n}{3^n}\mathrm{.}$$この数え上げから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{p}_n+\frac{1}{3}{q}_n,}\\ {\displaystyle q_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{q}_n}\end{array}$$も確認できる。

(3)
$n$ 回終了時点でまだ勝者が決まっていない確率を $s_n$ とすると$$s_n=p_n+q_n=\frac{n+1}{3^n}\mathrm{.}$$また $s_0=1$ とする。したがって、ちょうど $n$ 回目で終了する確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_{n-1}-s_n}& {\displaystyle =\frac{n}{3^{n-1}}-\frac{n+1}{3^n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2n-1}{3^n}\mathrm{.}}\end{array}$$これは $n=1$ の場合も含む。