名大 2015年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は確率分布を1回ずつ更新する。偶数回後は奇数の点、奇数回後は偶数の点にしかいないため、表はかなり短くなる。(2)は6回の経路をすべて列挙するより、「6回以内に点5へ到達する経路」として考えると漏れにくい。(3)は偶奇でまず $P_{n} (3) = 0$ となる場合を分け、偶数回後については2回ごとの遷移で、点 $1, 3, 5$ のどこから出ても2回後に点3へいる確率が $1 / 2$ であることを使う。

解答

(1)

初めは点1にあるので $(P_{0} (1), P_{0} (2), P_{0} (3), P_{0} (4), P_{0} (5)) = (1, 0, 0, 0, 0)$ である。1回ずつ確率を更新する。

1回後は必ず点2に移るので $(P_{1} (1), P_{1} (2), P_{1} (3), P_{1} (4), P_{1} (5)) = (0, 1, 0, 0, 0)$ である。以後、遷移規則を用いると $(P_{2} (1), P_{2} (2), P_{2} (3), P_{2} (4), P_{2} (5)) = (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0, 0),$ $(P_{3} (1), P_{3} (2), P_{3} (3), P_{3} (4), P_{3} (5)) = (0, \frac{3}{4}, 0, \frac{1}{4}, 0),$ $(P_{4} (1), P_{4} (2), P_{4} (3), P_{4} (4), P_{4} (5)) = (\frac{3}{8}, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{8}),$ $(P_{5} (1), P_{5} (2), P_{5} (3), P_{5} (4), P_{5} (5)) = (0, \frac{5}{8}, 0, \frac{3}{8}, 0)$ である。したがって $(P_{6} (1), P_{6} (2), P_{6} (3), P_{6} (4), P_{6} (5)) = (\frac{5}{16}, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{16})$ である。すなわち $P_{6} (1) = \frac{5}{16}, P_{6} (2) = 0, P_{6} (3) = \frac{1}{2}, P_{6} (4) = 0, P_{6} (5) = \frac{3}{16}$ である。

(2)

点1には初めから印がついており、すべての点に印がつくためには、6回以内に点5へ到達すればよい。点5へ初めて到達する最短経路は $1, 2, 3, 4, 5$ であり、これは4回の移動である。6回後までを見るので、点5に初めて到達する時刻は4回目または6回目である。

6回目に初めて点5へ到達する経路は $1, 2, 1, 2, 3, 4, 5,$ $1, 2, 3, 2, 3, 4, 5,$ $1, 2, 3, 4, 3, 4, 5$ の3つである。それぞれの確率は $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16},$ $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{32},$ $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{32}$ である。

4回目に点5へ到達する場合は $1, 2, 3, 4, 5$ の後、5回目は必ず点4へ戻り、6回目は点3または点5へ移る。したがって経路は $1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 5$ であり、それぞれの確率は $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ である。

よって求める確率は $\frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ である。したがって $\frac{1}{4}$ である。

(3)

点1から出発し、1回の移動で点の番号の偶奇が必ず変わる。したがって、奇数回後には偶数の点にいるので $P_{n} (3) = 0 (n が奇数)$ である。

次に $n$ が正の偶数のときを考える。偶数回後に石がいる可能性があるのは点 $1, 3, 5$ である。これらの点から2回移動したとき、点3にいる確率を調べると、点1からは $1 \to 2 \to 3$ となる確率が $1 / 2$ 、点3からは $3 \to 2 \to 3, 3 \to 4 \to 3$ となる確率の和が $1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2$ 、点5からは $5 \to 4 \to 3$ となる確率が $1 / 2$ である。つまり、偶数回後にどの奇数点にいても、その2回後に点3にいる確率は $1 / 2$ である。

実際 $P_{2} (3) = 1 / 2$ であり、上の性質を繰り返せば、すべての正の偶数 $n$ について $P_{n} (3) = \frac{1}{2}$ である。したがって $P_{n} (3) = {\begin{cases} 0 & (n が奇数), \\ \frac{1}{2} & (n が偶数) \end{cases}$ である。

総評

難度5、計算量5。目安時間は16分。(1)(2)は6回だけなので地道に追えるが、偶奇と到達時刻を使って整理しないと経路漏れが起きやすい。(2)では「全点に印」が「点5へ到達」と同値であることを利用するのが早い。(3)は2回ごとの遷移で点3に戻る確率が常に $1 / 2$ になるという対称性が核心で、表の計算結果を一般化する問題である。

出典: 名古屋大学 2015年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

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名古屋大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問