名古屋大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$f(x)=\log x^{100}=100\log x$$であるから$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle f(x+1)-f(x)}& {\displaystyle =100\{\log (x+1)-\log x\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100{\int }_x^{x+1}\frac{dt}{t}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$$x<t<x+1$ では$$\frac{1}{x+1}<\frac{1}{t}<\frac{1}{x}$$である。区間の長さは1なので、積分すると$$\frac{1}{x+1}<{\int }_x^{x+1}\frac{dt}{t}<\frac{1}{x}\mathrm{.}$$(1)より$$\frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x}\mathrm{.}$$(2)
まず整数 $x$ が $1\leqq x\leqq 99$ を満たすとき、(1)より$$f(x+1)-f(x)>\frac{100}{x+1}\geqq 1.$$したがって$$[f(1)],[f(2)],\dots ,[f(100)]$$はすべて異なる。後半との重複を避けるため、このうち$$[f(1)],[f(2)],\dots ,[f(99)]$$の99個を前半として数える。

次に、整数 $x\geqq 100$ では$$\begin{array}{cccc}& 0<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x}\leqq 1.& & \text{(2)}\end{array}$$よって整数部分 $[f(x)]$ は減少せず、隣り合う2項の間で2以上増えることもない。したがって$$[f(100)],[f(101)],\dots ,[f(1000)]$$には、最初の整数部分から最後の整数部分までのすべての整数が現れる。

指定された $\log 10=2.3026$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(100)}& {\displaystyle =200\log 10=460.52,}\\ {\displaystyle f(1000)}& {\displaystyle =300\log 10=\mathrm{690.78.}}\end{array}$$したがって$$[f(100)]=460,[f(1000)]=690.$$後半に現れる異なる整数部分は$$460,461,\dots ,690$$であり、その個数は$$690-460+1=231$$である。以上より、求める個数は$$99+231=330$$である。