名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

大小2個のサイコロを区別して考える。全体の場合の数は $6\cdot 6=36$ 通りである。

差の絶対値が $d$ であるとする。ただし $1\leqq d\leqq 5$ である。このとき、小さい方の目を基準にして $(1,1+d),(2,2+d),\dots ,(6-d,6)$ の $6-d$ 通りがあり、大小のサイコロのどちらが大きい目を出すかで2倍される。したがって場合の数は $2(6-d)$ 通りである。$d=0$ の場合は期待値への寄与が0なので、求める期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{36}\sum _{d=1}^{5}d\cdot 2(6-d)}& {\displaystyle =\frac{1}{36}\cdot 2\sum _{d=1}^5(6d-d^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{36}(6\cdot 15-55)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{70}{36}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $\frac{35}{18}$ である。

(2)

最初に2個のサイコロを同時に投げたとき、目が異なればそこで終了する。この場合の期待値への寄与は、(1) で数えた差が正である場合の寄与そのものであり、$\frac{35}{18}$ である。

次に、最初に同じ目が出た場合を考える。この確率は $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ である。このとき大きいサイコロの目はそのまま残り、小さいサイコロだけをもう一度投げる。最初に同じ目が出たという条件のもとで、残っている大きいサイコロの目は $1,2,\dots ,6$ のいずれも同じ確率である。また、振り直した小さいサイコロの目も $1,2,\dots ,6$ のいずれも同じ確率で独立に出る。

したがって、振り直し後の差の絶対値の期待値は、独立な2個のサイコロの差の絶対値の期待値と同じで、(1) より $\frac{35}{18}$ である。

以上より、求める期待値は$$\frac{35}{18}+\frac{1}{6}\cdot \frac{35}{18}=\frac{35}{18}\cdot \frac{7}{6}=\frac{245}{108}$$である。

大小のサイコロの最初の目を $X,Y$、小さいサイコロを振り直したときの目を $Z$ とする。(1) は36組の差を三角形状に足す。(2) は216個の等確率な三つ組 $(X,Y,Z)$ 上で、$X\mathrm{\ne }Y$ と $X=Y$ の寄与を直接加える。

(1) 大きいサイコロの目を $X$、小さいサイコロの目を $Y$ とする。$X>Y$ の部分では$$\sum _{1\leqq Y<X\leqq 6}(X-Y)=1+2+\cdots +5+1+2+\cdots +4+\cdots +1=35.$$$X<Y$ の部分も同じで、$X=Y$ の寄与は0である。したがって$$E(\mathrm{\mid }X-Y\mathrm{\mid })=\frac{2\cdot 35}{36}=\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">35</mn><mn\; mathvariant="bold">18</mn></mfrac>}\mathrm{.}$$(2) 振り直した小さいサイコロの目を $Z$ とする。三つ組 $(X,Y,Z)$ は216通りが等確率である。$X\mathrm{\ne }Y$ のときの差は $\mathrm{\mid }X-Y\mathrm{\mid }$ で、各組 $(X,Y)$ に対して $Z$ が6通りあるから、その寄与の総和は$$6\sum _{X,Y}\mathrm{\mid }X-Y\mathrm{\mid }=6\cdot 70=420.$$$X=Y$ のときは最終的な差が $\mathrm{\mid }X-Z\mathrm{\mid }$ となり、その総和は$$\sum _{X,Z}\mathrm{\mid }X-Z\mathrm{\mid }=70.$$よって求める期待値は$$\frac{420+70}{216}=\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">245</mn><mn\; mathvariant="bold">108</mn></mfrac>}$$である。