名大 2015年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

(1) (2)は文系第2問と同じく、6回の遷移を表と到達経路で処理する。(3)では、印のついた点が常に $1$ から最大到達点まで連続することを使う。ちょうど3点に印があることは「点3には到達済み、点4には未到達」と同値である。点4未到達の確率は、最初の1手の後、2手ごとのブロックで点4を避ける確率 $3 / 4$ を掛ける。点3未到達の確率も同様に、2手ごとに点3を避ける確率 $1 / 2$ を掛ける。

解答

(1)

初期状態は $(P_{0} (1), P_{0} (2), P_{0} (3), P_{0} (4), P_{0} (5)) = (1, 0, 0, 0, 0)$ である。遷移規則に従って順に更新すると $(P_{1} (1), P_{1} (2), P_{1} (3), P_{1} (4), P_{1} (5)) = (0, 1, 0, 0, 0),$ $(P_{2} (1), P_{2} (2), P_{2} (3), P_{2} (4), P_{2} (5)) = (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0, 0),$ $(P_{3} (1), P_{3} (2), P_{3} (3), P_{3} (4), P_{3} (5)) = (0, \frac{3}{4}, 0, \frac{1}{4}, 0),$ $(P_{4} (1), P_{4} (2), P_{4} (3), P_{4} (4), P_{4} (5)) = (\frac{3}{8}, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{8}),$ $(P_{5} (1), P_{5} (2), P_{5} (3), P_{5} (4), P_{5} (5)) = (0, \frac{5}{8}, 0, \frac{3}{8}, 0)$ である。よって $(P_{6} (1), P_{6} (2), P_{6} (3), P_{6} (4), P_{6} (5)) = (\frac{5}{16}, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{16})$ である。したがって $P_{6} (1) = \frac{5}{16}, P_{6} (2) = 0, P_{6} (3) = \frac{1}{2}, P_{6} (4) = 0, P_{6} (5) = \frac{3}{16}$ である。

(2)

すべての点に印がつくためには、6回以内に点5へ到達すればよい。点5へ初めて到達する時刻は4回目または6回目である。

6回目に初めて点5へ到達する経路は $1, 2, 1, 2, 3, 4, 5,$ $1, 2, 3, 2, 3, 4, 5,$ $1, 2, 3, 4, 3, 4, 5$ であり、それぞれの確率は $\frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{32}$ である。4回目に点5へ到達する場合は、その後 $1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 5$ の2通りがあり、それぞれ確率は $\frac{1}{16}$ である。したがって求める確率は $\frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ である。よって $\frac{1}{4}$ である。

(3)

石は隣の点にしか移動しないので、印のついた点は常に $1, 2, \dots, M$ という形で連続している。したがって、ちょうど3つの点に印がついていることは、点3には到達しており、点4にはまだ到達していないことと同値である。よって $\Pr (ちょうど3点) = \Pr (点4に未到達) - \Pr (点3に未到達)$ である。

まず点4に未到達である確率を求める。1回目の移動で必ず点2にいる。以後、点4へ到達しない限り、奇数回後には点2に戻ってくる。点2から2回移動して点4に到達しない経路は $2 \to 1 \to 2, 2 \to 3 \to 2$ であり、その確率は $\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ である。一方、経路 $2 \to 3 \to 4$ は確率 $1 / 4$ で点4に到達する。したがって、最初の1回の後に含まれる完全な2回移動の組の数 $⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋$ だけ、点4を避ける確率 $3 / 4$ が掛かる。よって $\Pr (点4に未到達) = {(\frac{3}{4})}^{⌊ (n - 1) / 2 ⌋}$ である。

同様に、点3に未到達であるためには、点2から2回移動するたびに $2 \to 1 \to 2$ を選び続ける必要がある。この確率は1組あたり $1 / 2$ であり、 $n$ 回の中に含まれるそのような2回移動の組の数は $⌊ \frac{n}{2} ⌋$ である。したがって $\Pr (点3に未到達) = {(\frac{1}{2})}^{⌊ n / 2 ⌋}$ である。

以上より求める確率は ${(\frac{3}{4})}^{⌊ (n - 1) / 2 ⌋} - {(\frac{1}{2})}^{⌊ n / 2 ⌋}$ である。

総評

難度6、計算量6。目安時間は21分。(1)(2)は文系第2問と同型だが、(3)が理系側の中心である。印の個数を直接追うのではなく、最大到達点に置き換えると「ちょうど3点」が点3到達かつ点4未到達になる。床関数の指数は、最初の1手の後に何組の2手ブロックを見られるかを数えている。偶奇で場合分けしてもよいが、ブロック構造を説明しておくと式の意味が伝わる。

出典: 名古屋大学 2015年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

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解答

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名古屋大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問