名古屋大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

円 $C$ の中心は $(0,1)$、半径は $1$ である。点 $Q(b,0)$ を通る、$x$ 軸とは異なる接線をまず $b\mathrm{\ne }1$ の場合に求める。直線を $y=m(x-b)$ とおくと、標準形は $mx-y-mb=0$ である。この直線が円 $C$ に接するための条件は、中心 $(0,1)$ から直線までの距離が $1$ であること、すなわち $$\frac{\mathrm{\mid }m\cdot 0-1-mb\mathrm{\mid }}{\sqrt{m^2+1}}=1$$ である。よって $(1+mb{)}^2=m^2+1$ となる。展開して整理すると $$2mb+m^2{b}^2=m^2,m\{2b+m(b^2-1)\}=0$$ である。$m=0$ は $x$ 軸であり除くので $$m=-\frac{2b}{b^2-1}$$ である。したがって $$y=-\frac{2b}{b^2-1}(x-b)(b\mathrm{\ne }1)$$ である。

なお $b=1$ のときは、上の傾き表示ではなく垂直線 $x=1$ が $Q$ を通る $x$ 軸以外の接線である。実際、中心 $(0,1)$ から直線 $x=1$ までの距離は $1$ である。

(2)

同様に、$a\mathrm{\ne }1$ のとき点 $P(-a,0)$ を通る $x$ 軸以外の接線は $$y=\frac{2a}{a^2-1}(x+a)$$ である。$a=1$ のときは垂直線 $x=-1$ である。

まず $a\mathrm{\ne }1,b\mathrm{\ne }1$ として交点を求める。$R=(X,Y)$ とすると $$Y=\frac{2a}{a^2-1}(X+a),Y=-\frac{2b}{b^2-1}(X-b)$$ である。これらを等置して $$\frac{a(X+a)}{a^2-1}=-\frac{b(X-b)}{b^2-1}$$ を得る。両辺に $(a^2-1)(b^2-1)$ を掛けると $$a(b^2-1)(X+a)+b(a^2-1)(X-b)=0$$ である。$X$ の係数は $$a(b^2-1)+b(a^2-1)=(a+b)(ab-1)$$ であり、定数項は $$a^2(b^2-1)-b^2(a^2-1)=b^2-a^2=-(a-b)(a+b)$$ である。したがって $$(a+b)(ab-1)X-(a-b)(a+b)=0$$ であり、$a+b>0$、$ab\mathrm{\ne }1$ より $$X=\frac{a-b}{ab-1}$$ である。これを例えば $Y={\displaystyle \frac{2a}{a^2-1}}(X+a)$ に代入すると $$X+a=\frac{a-b+a(ab-1)}{ab-1}=\frac{b(a^2-1)}{ab-1}$$ だから $$Y=\frac{2a}{a^2-1}\cdot \frac{b(a^2-1)}{ab-1}=\frac{2ab}{ab-1}$$ である。

$a=1$ または $b=1$ の垂直接線の場合も、この式はそのまま成り立つ。よって $R(\frac{a-b}{ab-1},\frac{2ab}{ab-1})$ である。

(3)

$R$ の $y$ 座標は $\frac{2ab}{ab-1}$ である。$a>0,b>0$ より、これが正であることは $ab>1$ と同値である。以下 $ab>1$ とする。

まず $PQ=a+b$ である。また$$R-P=(\frac{a-b}{ab-1}+a,\frac{2ab}{ab-1})=(\frac{b(a^2-1)}{ab-1},\frac{2ab}{ab-1})$$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle PR}& {\displaystyle =\frac{b}{ab-1}\sqrt{(a^2-1{)}^2+(2a{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{b}{ab-1}\sqrt{a^4+2a^2+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{b(a^2+1)}{ab-1}}\end{array}$$である。同様に$$R-Q=(\frac{a-b}{ab-1}-b,\frac{2ab}{ab-1})=(\frac{-a(b^2-1)}{ab-1},\frac{2ab}{ab-1})$$より $$QR=\frac{a(b^2+1)}{ab-1}$$ である。

したがって周の長さ $T$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =PQ+PR+QR}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a+b+\frac{b(a^2+1)+a(b^2+1)}{ab-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a+b+\frac{(a+b)(ab+1)}{ab-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2ab(a+b)}{ab-1}}\end{array}$$である。よって $$T=\frac{2ab(a+b)}{ab-1}$$ である。

(4)

$PQ=4$ より $a+b=4$ である。(3)から $$T=\frac{8ab}{ab-1}$$ である。ここで $u=ab$ とおくと、条件 $R$ の $y$ 座標が正であることから $u>1$ であり $$T=\frac{8u}{u-1}=8+\frac{8}{u-1}$$ である。したがって $u>1$ の範囲では、$u$ が大きいほど $T$ は小さい。

一方、$a>0,b>0,a+b=4$ のもとでは $$ab\leqq {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=4$$ であり、等号は $a=b=2$ のときに成り立つ。このとき $ab=4>1$ なので条件も満たす。よって $T$ は $a=b=2$ のとき最小となり、その値は $$T=\frac{8\cdot 4}{4-1}=\frac{32}{3}$$ である。したがって $$a=2,T=\frac{32}{3}$$ である。

接点を $(u,v)$ と置き、半径と接線の直交条件から接線の方程式を直接求める。2本の接線を連立して $R$ を出した後は、各頂点から円へ引いた接線の長さが等しいことと点 $R$ の方べきを使って周長を求める。主解法の距離公式による辺長計算を避け、接線図形の構造を利用する。

円の中心を $O=(0,1)$ とする。

(1)

$Q$ から引いた $x$ 軸以外の接線の接点を $E=(u,v)$ とする。$E$ は円上にあるから$$\begin{array}{cccc}& u^2+(v-1{)}^2=1& & \text{(1)}\end{array}$$である。半径 $OE$ と接線 $QE$ は垂直なので、$E$ における接線は$$\begin{array}{cccc}& ux+(v-1)(y-1)=1& & \text{(2)}\end{array}$$と書ける。これが $Q=(b,0)$ を通ることから $v=bu$ である。(1)へ代入すると$$u^2+(bu-1{)}^2=1$$すなわち$$u\{(1+b^2)u-2b\}=0$$である。$u=0$ は $x$ 軸に対応するので除き$$u=\frac{2b}{1+b^2},v=\frac{2b^2}{1+b^2}$$を得る。これを (2) へ代入して整理すると$$QR:2bx+(b^2-1)y-2b^2=0$$である。この式は $b=1$ のときも垂直接線 $x=1$ を表す。

(2)

同様に $P$ から引いた接線は$$PR:-2ax+(a^2-1)y-2a^2=0$$である。2式を連立すると$$R(\frac{a-b}{ab-1},\frac{2ab}{ab-1})$$を得る。

(3)

$R$ の $y$ 座標が正である条件は $ab>1$ である。$P,Q$ から $x$ 軸上の接点 $(0,0)$ までの接線長は、それぞれ $a,b$ である。したがって、$P,Q$ からもう一方の接点までの接線長も $a,b$ である。

また $R$ から円へ引いた2本の接線の共通の長さを $s$ とする。点 $R$ の方べきから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s^2}& {\displaystyle ={\left(\frac{a-b}{ab-1}\right)}^2+{(\frac{2ab}{ab-1}-1)}^2-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a+b{)}^2}{(ab-1{)}^2}}\end{array}$$である。$ab>1$ より$$s=\frac{a+b}{ab-1}$$となる。接点は各辺上にあるので$$PR=a+s,QR=b+s,PQ=a+b$$である。よって周長は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =2(a+b)+2s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(a+b)+\frac{2(a+b)}{ab-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2ab(a+b)}{ab-1}}\end{array}$$となる。

(4)

$PQ=4$ より $a+b=4$ である。$u=ab$ とおけば $1<u\leqq 4$ であり$$T=\frac{8u}{u-1}=8+\frac{8}{u-1}$$である。これは $u$ が大きいほど小さい。一方$$ab\leqq {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=4$$で、等号は $a=b=2$ のときに成り立つ。したがって$$a=2,T_{\min }=\frac{32}{3}$$である。