名古屋大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点$T(t,t^2)$において$\mathrm{\angle }ATB$が直角であることは $$\overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}=0$$ と同値である。ここで$$\overrightarrow{TA}=(-1-t,1-t^2),\overrightarrow{TB}=(b-t,b^2-t^2)$$であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}}& {\displaystyle =(-1-t)(b-t)+(1-t^2)(b^2-t^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t-b)(t+1)\{t^2+(b-1)t+1-b\}}\end{array}$$と因数分解できる。

条件では$-1<t<b$であるから，$t+1>0$，$t-b<0$であり，この2つの因子は0にならない。したがって求める条件は，2次方程式 $q(t)=t^2+(b-1)t+1-b=0$ が開区間$(-1,b)$に解をもつことに等しい。

まず実数解をもつための条件を調べる。判別式は $$D=(b-1{)}^2-4(1-b)=(b-1)(b+3)$$ である。仮定$b>-1$のもとでは$b+3>0$なので，実数解をもつには $b\geqq 1$ が必要である。

逆に$b\geqq 1$なら，実際に区間内の解が存在する。$b=1$のとき $q(t)=t^2$ であり，$t=0$は$-1<0<1$を満たす。$b>1$のときは $$q(0)=1-b<0,q(b)=2b^2-2b+1=2{(b-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{2}>0$$ である。$0<b$だから，連続性より$0<t<b$に$q(t)=0$を満たす解が少なくとも1つ存在する。これは条件$-1<t<b$を満たす。

以上より，求める$b$の範囲は である。

円周角の定理から，直角となる点$T$は線分$AB$を直径とする円と放物線の共有点である。端点$A,B$以外の共有点を与える2次式について，判別式と$t=0,b$での符号だけを調べる。$b>1$では根の一つが必ず$0<t<b$に入り，$b=1$では重解$t=0$が入ることを確認する。

$\mathrm{\angle }ATB={90}^{\circ }$であることは，円周角の定理より，$T$が線分$AB$を直径とする円上にあることと同値である。$T=(t,t^2)$をこの円の条件へ代入すると$$(t+1)(t-b)\{t^2+(b-1)t+1-b\}=0.$$ここで$t=-1,b$は端点$A,B$に対応し，問題の開区間には含まれない。よって$$q(t)=t^2+(b-1)t+1-b=0$$が$(-1,b)$に根をもつ条件を求めればよい。

$-1<b<1$では，判別式は$$D=(b-1{)}^2-4(1-b)=(b-1)(b+3)<0$$であり，追加の共有点は存在しない。$b=1$では$q(t)=t^2$となり，重解$t=0$は$-1<0<1$を満たす。

$b>1$では$$q(0)=1-b<0,q(b)=2b^2-2b+1>0.$$しかも$0<b$だから，中間値の定理により$0<t<b$に根が存在する。この根は確かに$(-1,b)$内にある。

したがって，求める範囲はである。