名古屋大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

点$T(t,t^2)$において$\mathrm{\angle }ATB$が直角である条件は $$\overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}=0$$ である。ここで$$\overrightarrow{TA}=(-2-t,4-t^2),\overrightarrow{TB}=(b-t,b^2-t^2)$$だから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}}& {\displaystyle =(-2-t)(b-t)+(4-t^2)(b^2-t^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t-b)(t+2)\{t^2+(b-2)t+1-2b\}}\end{array}$$である。

条件$-2<t<b$のもとでは，$t+2>0$，$t-b<0$であり，この2つは0にならない。したがって $q(t)=t^2+(b-2)t+1-2b$ が$(-2,b)$に実数解をもつ条件を求めればよい。

まず判別式は $$D=(b-2{)}^2-4(1-2b)=b(b+4)$$ である。$b>-2$のもとで$-2<b<0$なら$D<0$となり，根は存在しない。よって必要条件として$b\geqq 0$を得る。

次に$$0\leqq b\leqq 1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$のときを調べる。この範囲では $q(b)=2b^2-4b+1\geqq 0$ である。また$-2<t<b$では $$q^{\mathrm{\prime }}(t)=2t+b-2<2b+b-2=3b-2<0$$ が成り立つ。したがって$q(t)$は$(-2,b)$で減少しており，$t<b$なら $q(t)>q(b)\geqq 0$ である。よってこの範囲では根は存在しない。境界$$b=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$では根が$t=b$に来るだけなので，開区間条件を満たさない。

最後に $$b>1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ なら，実際に根が存在することを示す。$$\alpha =1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$とおく。 $\alpha <b<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のときは $$q(0)=1-2b>0,q(b)=2b^2-4b+1<0$$ であるから，$0<t<b$に根がある。 $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq b<{\displaystyle \frac{9}{4}}$$のときは $$q(-2)=9-4b>0,q(0)=1-2b\leqq 0$$ であるから，$-2<t\leqq 0$に根がある。$q(0)=0$となる$b=1\mathrm{/}2$でも，$t=0$は$(-2,b)$に含まれる。 $b\geqq {\displaystyle \frac{9}{4}}$のときは $$q(0)=1-2b<0,q(b)=2b^2-4b+1>0$$ であるから，$0<t<b$に根がある。

以上より，求める$b$の範囲は である。

端点以外の交点条件を$b$について解き，$b=(t-1{)}^2\mathrm{/}(2-t)$と表す。未知量の役割を逆転し，$-2<t<b$を満たす$t$の範囲を先に求めてから，関数$B(t)=(t-1{)}^2\mathrm{/}(2-t)$の値域を取る。

内積条件を因数分解すると，端点$t=-2,b$以外の直角点は$$t^2+(b-2)t+1-2b=0$$を満たす。この式を$b$について整理すると$$b=\frac{(t-1{)}^2}{2-t}=:B(t)\mathrm{.}$$もし$t\geqq 2$なら右辺は0以下であり，$t<b$と両立しない。したがって$-2<t<2$だけを考えればよい。

この範囲では$2-t>0$だから，条件$t<b=B(t)$は$$t(2-t)<(t-1{)}^2$$すなわち$$2t^2-4t+1>0$$と同値である。$\alpha =1-\sqrt{2}\mathrm{/}2$，$\beta =1+\sqrt{2}\mathrm{/}2$とおくと，許される$t$は$$-2<t<\alpha \text{または}\beta <t<2.$$ここで$$B^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{(t-1)(3-t)}{(2-t{)}^2}\mathrm{.}$$したがって$B$は$(-2,\alpha )$で減少し，$(\beta ,2)$で増加する。また$$B(-2)=\frac{9}{4},B(\alpha )=\alpha ,B(\beta )=\beta ,\underset{t\to 2-}{\lim }B(t)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$端点はいずれも許されないので，2つの区間での値域はそれぞれ$$\alpha <b<\frac{9}{4},\beta <b<+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$$\beta <9\mathrm{/}4$であるから，これらの和集合は$$b>\alpha =1-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$よって求める範囲は$b>1-\sqrt{2}\mathrm{/}2$である。