名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

接点の1つを $T=(x,y)$ とおく。$T$ は円 $C$ 上にあるので $x^2+y^2=1$ である。また、半径 $OT$ は接線 $PT$ と垂直である。したがって $$\overrightarrow{OT}\cdot \overrightarrow{TP}=0$$ であり、$(x,y)\cdot (a-x,-y)=0$ を得る。これを展開すると $ax-x^2-y^2=0$ である。$x^2+y^2=1$ より $ax=1$ だから $x=\frac{1}{a}$ である。

2つの接点はどちらも $x=1\mathrm{/}a$ 上にあるので、接点を結ぶ直線は $x=\frac{1}{a}$ である。したがってこの直線と $x$ 軸との交点は $Q(\frac{1}{a},0)$ であり、求める $x$ 座標は $\frac{1}{a}$ である。

(2) $C$ 上の点を $R=(x,y)$ とおく。このとき $x^2+y^2=1$ である。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle =(x-a{)}^2+y^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+y^2-2ax+a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2-2ax+1}\end{array}$$である。一方、$Q=(1\mathrm{/}a,0)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q{R}^2}& {\displaystyle ={(x-\frac{1}{a})}^2+y^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+y^2-\frac{2x}{a}+\frac{1}{a^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{2x}{a}+\frac{1}{a^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^2-2ax+1}{a^2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $P{R}^2=a^{2}Q{R}^2$ である。$a>1$ であり、距離は正なので $$\frac{PR}{QR}=a$$ である。これは $R$ の位置によらない。よって一定値は $a$ である。

(3) $\mathrm{\angle }PRQ={90}^{\circ }$ は $$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=0$$ と同値である。ここで$$\overrightarrow{RP}=(a-x,-y),\overrightarrow{RQ}=(\frac{1}{a}-x,-y)$$だから $$(a-x)(\frac{1}{a}-x)+y^2=0$$ である。展開すると $$1-ax-\frac{x}{a}+x^2+y^2=0$$ であり、$x^2+y^2=1$ を用いて $$2-(a+\frac{1}{a})x=0$$ を得る。したがって $$x=\frac{2}{a+1\mathrm{/}a}=\frac{2a}{a^2+1}$$ である。

さらに $x^2+y^2=1$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y^2}& {\displaystyle =1-{\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a^2+1{)}^2-4a^2}{(a^2+1{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a^2-1{)}^2}{(a^2+1{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$$ $a>1$ だから $$y=\pm \frac{a^2-1}{a^2+1}$$ である。よって求める点は $$R=(\frac{2a}{a^2+1},\pm \frac{a^2-1}{a^2+1})$$ である。

最後に $PR$ の長さを求める。 $$P{R}^2=a^2-2a\cdot \frac{2a}{a^2+1}+1=\frac{(a^2-1{)}^2}{a^2+1}$$ である。$a>1$ より $$PR=\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}$$ である。

接点の一つを $T$ とする。直角三角形 $OQT$ と $OTP$ の相似から $OQ\cdot OP=O{T}^2$ を得て (1) を求める。(2) は距離の平方を比較する。(3) は $\mathrm{△}PRQ$ が直角三角形で、かつ $PR=aQR$ であることを先に使って長さを決め、座標は円との連立で求める。

(1) 上側の接点を $T$ とする。接点を結ぶ直線は $x$ 軸に垂直なので $\mathrm{\angle }OQT={90}^{\circ }$ である。また半径と接線は直交するから $\mathrm{\angle }OTP={90}^{\circ }$ である。さらに $\mathrm{\angle }QOT=\mathrm{\angle }TOP$ なので$$\mathrm{△}OQT\sim \mathrm{△}OTP\mathrm{.}$$したがって$$\frac{OQ}{OT}=\frac{OT}{OP}\mathrm{.}$$ここで $OT=1$, $OP=a$ より$$OQ=\frac{1}{a}\mathrm{.}$$ゆえに $Q$ の $x$ 座標は である。

(2) $R=(x,y)$, $x^2+y^2=1$ とおくと$$P{R}^2=a^2-2ax+1,$$また $Q=(1\mathrm{/}a,0)$ より$$Q{R}^2=\frac{a^2-2ax+1}{a^2}\mathrm{.}$$したがって $P{R}^2=a^{2}Q{R}^2$ であり、長さは正だからである。

(3) $\mathrm{\angle }PRQ={90}^{\circ }$ なので、(2) と三平方の定理から$$P{Q}^2=P{R}^2+Q{R}^2=(a^2+1)Q{R}^2\mathrm{.}$$一方$$PQ=a-\frac{1}{a}=\frac{a^2-1}{a}$$である。よって座標を求めるため $R=(x,y)$ とし、直角条件$$(a-x)(\frac{1}{a}-x)+y^2=0$$に $x^2+y^2=1$ を代入すると$$x=\frac{2a}{a^2+1}\mathrm{.}$$さらに円の方程式から$$y=\pm \frac{a^2-1}{a^2+1}\mathrm{.}$$したがってである。