名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

2点 $P(t,t^2),Q(t+1,(t+1{)}^2)$ を通る直線の傾きは $$\frac{(t+1{)}^2-t^2}{(t+1)-t}=2t+1$$ である。したがって、直線 $l$ は $y-t^2=(2t+1)(x-t)$ と表される。右辺を整理して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =(2t+1)x-(2t+1)t+t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2t+1)x-t(t+1)}\end{array}$$である。よって $y=(2t+1)x-t(t+1)$ である。

(2)

直線 $x=a$ と $l$ の交点の $y$ 座標は $f(t)=(2t+1)a-t(t+1)$ である。すなわち $f(t)=-t^2+(2a-1)t+a$ である。これは下向きに開く2次関数で、軸は $t=a-\frac{1}{2}$ である。 $t$ は $-1\leqq t\leqq 0$ を動く。

軸が区間の左にある、すなわち $a-\frac{1}{2}<-1$ のとき、$a<-1\mathrm{/}2$ であり、$f(t)$ は区間上で減少する。したがって最大値は $t=-1$ でとり、$f(-1)=-(1)-(2a-1)+a=-a$ である。

軸が区間内にある、すなわち $-1\leqq a-\frac{1}{2}\leqq 0$ のとき、$-1\mathrm{/}2\leqq a\leqq 1\mathrm{/}2$ であり、最大値は軸でとる。この値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a-\frac{1}{2})}& {\displaystyle =-{(a-\frac{1}{2})}^2+(2a-1)(a-\frac{1}{2})+a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(a-\frac{1}{2})}^2+a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+\frac{1}{4}}\end{array}$$である。

軸が区間の右にある、すなわち $a-\frac{1}{2}>0$ のとき、$a>1\mathrm{/}2$ であり、$f(t)$ は区間上で増加する。したがって最大値は $t=0$ でとり、$f(0)=a$ である。

よって求める最大値は$$\{\begin{array}{ll}-a& (a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ a& (a>{\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$である。

(3)

線分 $PQ$ は、直線 $l$ のうち $t\leqq x\leqq t+1$ を満たす部分である。$-1\leqq t\leqq 0$ なので、通過領域の $x$ 座標の範囲は $-1\leqq x\leqq 1$ である。

固定した $x=a$ について、線分上に点があるためには $t\leqq a\leqq t+1$ すなわち $a-1\leqq t\leqq a$ であり、さらに $-1\leqq t\leqq 0$ が必要である。この範囲での $y$ 座標は (2) の $f(t)$ で与えられる。

下端は端点 $P,Q$ が動く放物線 $y=x^2$ である。実際、固定した $x=a$ に対して許される $t$ の端点のどちらかで、線分の端点が $(a,a^2)$ になる。

上端は (2) の最大値を $a=x$ として用いればよい。したがって$$\{\begin{array}{ll}y=-x& (-1\leqq x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ y=x& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<x\leqq 1)\end{array}$$が上側の境界である。

よって領域は、下側を $y=x^2$、上側を上の3つの曲線・直線で囲まれる図形である。面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{-1\mathrm{/}2}(-x-x^2)dx+{\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}(x^2+\frac{1}{4}-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{1\mathrm{/}2}^1(x-x^2)dx\mathrm{.}}\end{array}$$左右の2つの積分は対称であり、$${\int }_{1\mathrm{/}2}^1(x-x^2)dx={[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]}_{1\mathrm{/}2}^1=\frac{1}{12}$$である。また中央は $${\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}$$ である。したがって $$S=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$$ である。

(1) で得た直線族を $t$ をパラメータとする式として扱う。上側境界は包絡線と端の直線 $t=-1,0$、下側境界は線分の端点が描く放物線から決める。

(1) 2点を通る直線はである。

(2) $x=a$ での高さは$$f(t)=-t^2+(2a-1)t+a$$である。頂点 $t=a-1\mathrm{/}2$ と区間 $[-1,0]$ の位置関係から$$\max f(t)=\{\begin{array}{ll}-a& (a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ a& (a>{\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$となる。

(3) 直線族を$$F(x,y,t)=y+t^2-(2x-1)t-x=0$$と書く。包絡線では $t$ に関する頂点条件$$2t-(2x-1)=0$$が成り立つので、$t=x-1\mathrm{/}2$ である。これを代入すると$$y=x^2+\frac{1}{4}\mathrm{.}$$$-1\leqq t\leqq 0$ より、この包絡線が上側境界になるのは $-1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ である。外側の上端は $t=-1$ の直線 $y=-x$ と $t=0$ の直線 $y=x$ である。下端は端点 $P,Q$ の軌跡 $y=x^2$ である。

したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_{1\mathrm{/}2}^1(x-x^2)dx+{\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\frac{1}{4}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot \frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mn\; mathvariant="bold">12</mn></mfrac>}\mathrm{.}}\end{array}$$領域は解法1の図の通りである。