名古屋大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
点$P$は原点から見て角$\theta$の方向にあるので，$$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ とおける。$P$は円$C:(x-1{)}^2+y^2=1$上にあるから，$$(r\cos \theta -1{)}^2+(r\sin \theta {)}^2=1$$ である。整理すると $r^2-2r\cos \theta =0$ となる。$P\mathrm{\ne }O$であり，また$y$座標が正なので$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$，$r>0$である。したがって $r=2\cos \theta$ であり，$$P=(2{\cos }^2\theta ,2\sin \theta \cos \theta ),OP=2\cos \theta$$ である。

(2) $P$を固定する。直線$OP$の方向の単位ベクトルは $(\cos \theta ,\sin \theta )$ であり，これに垂直な単位ベクトルの一つは $$\mathit{n}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$ である。点$Q$から直線$OP$までの距離は，$Q$の$\mathit{n}$方向成分の絶対値で決まる。

円$D$の中心を$M=(-2,0)$とすると，$$M\cdot \mathit{n}=2\sin \theta$$ である。円$D$の半径は7だから，$\mathit{n}$方向の成分を最大にする点は $Q=M+7\mathit{n}$ である。このとき，反対向きに進むと距離は$$\mathrm{\mid }2\sin \theta -7\mathrm{\mid }=7-2\sin \theta$$であり，$7+2\sin \theta$より小さい。したがって面積を最大にする点は $$Q=(-2,0)+7(-\sin \theta ,\cos \theta )=(-2-7\sin \theta ,7\cos \theta )$$ である。

(3)
(2)での最大距離は $7+2\sin \theta$ である。したがって，$P$を固定したときの最大面積は$$\frac{1}{2}\cdot OP\cdot (7+2\sin \theta )=\frac{1}{2}\cdot 2\cos \theta (7+2\sin \theta )=\cos \theta (7+2\sin \theta )$$である。

ここで $x=\sin \theta$ とおくと，$0<x<1$，$$\cos \theta =\sqrt{1-x^2}$$であるから，$$F(x)=\sqrt{1-x^2}(7+2x)$$ を最大にすればよい。$F(x)>0$なので，微分して $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}(7+2x)+2\sqrt{1-x^2}$$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$は $2(1-x^2)=x(7+2x)$ すなわち $4x^2+7x-2=0$ に等しい。これを解くと $x=\frac{1}{4},x=-2$ であり，$0<x<1$を満たすのは$x=1\mathrm{/}4$だけである。

また，$x\to 0+$では$F(x)\to 7$，$x\to 1-$では$F(x)\to 0$であり，$x=1\mathrm{/}4$で増加から減少に変わるので，ここで最大となる。よって最大値は$$F\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{1-\frac{1}{16}}(7+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{15}{2}=\mathrm{<mfrac><mrow><mn\; mathvariant="bold">15</mn><msqrt><mn\; mathvariant="bold">15</mn></msqrt></mrow><mn\; mathvariant="bold">8</mn></mfrac>}$$である。

円$C$を中心角で，円$D$を偏角で媒介表示し，三角形の面積を行列式で直接表す。$Q$についての最大化は正弦の最大値に帰着させ，最後の$P$についての最大化は微分を使わず，最大候補との差を$(4x-1{)}^2$で因数分解して証明する。

(1)
円$C$上半分の点を$$P=(1+\cos \phi ,\sin \phi )(0<\phi <\pi )$$とおく。半角公式により$$P=2\cos \frac{\phi }{2}(\cos \frac{\phi }{2},\sin \frac{\phi }{2})\mathrm{.}$$したがって$\theta =\phi \mathrm{/}2$であり，$$P=(2{\cos }^2\theta ,2\sin \theta \cos \theta ),OP=2\cos \theta \mathrm{.}$$(2)
円$D$上の点を$$Q=(-2+7\cos \psi ,7\sin \psi )$$とおく。$$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$と略記すると$P=2c(c,s)$だから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \det (P,Q)}& {\displaystyle =2c\{7c\sin \psi -s(-2+7\cos \psi )\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2c\{2s+7\sin (\psi -\theta )\}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<s<1$なので絶対値が最大になるのは$\sin (\psi -\theta )=1$のときである。よって$$Q=(-2-7\sin \theta ,7\cos \theta )$$であり，このとき直線$OP$から$Q$までの距離は$7+2\sin \theta$となる。

(3)
最大面積を$F$とすると$$F=\cos \theta (7+2\sin \theta )\mathrm{.}$$$x=\sin \theta$とおけば$0<x<1$であり，$F^2=(1-x^2)(7+2x{)}^2$である。ここで直接計算すると$$\frac{3375}{64}-F^2=\frac{(4x-1{)}^2(16x^2+120x+239)}{64}\geqq 0.$$右辺の第2因子は$0<x<1$で正だから，等号は$x=1\mathrm{/}4$のときに限る。したがって$$F_{\max }=\sqrt{\frac{3375}{64}}=\frac{15\sqrt{15}}{8}\mathrm{.}$$このとき$\sin \theta =1\mathrm{/}4$であり，実際に円$C$上の点$P$として実現する。