名古屋大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $2^{k}p$の正の約数は，$2^i$または$2^{i}p$ $(0\leqq i\leqq k)$の形である。したがって約数の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s(2^{k}p)}& {\displaystyle =(1+2+\cdots +2^k)+(p+2p+\cdots +2^{k}p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+2+\cdots +2^k)(1+p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{k+1}-1)(p+1)}\end{array}$$である。

(2)
まず $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ である。約数和は素因数ごとに積で表せるので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s(2016)}& {\displaystyle =(1+2+2^2+\cdots +2^5)(1+3+3^2)(1+7)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^6-1)\cdot 13\cdot 8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =63\cdot 13\cdot 8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6552}\end{array}$$である。

(3) $n$は2016の正の約数であるから，$n=2^a{3}^b{7}^c$ とおける。ただし $$0\leqq a\leqq 5,0\leqq b\leqq 2,0\leqq c\leqq 1$$ である。このとき $$s(n)=(2^{a+1}-1)(1+3+\cdots +3^b)(1+7+\cdots +7^c)$$ である。

もし$b=2$なら，$1+3+9=13$が$s(n)$の因子になる。しかし $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ は13で割り切れないので，$b=2$は不可能である。したがって$b=0$または$b=1$である。

次に2の指数を見る。因子$2^{a+1}-1$は奇数である。また，$b=0$なら$3$に関する因子は1，$b=1$なら $1+3=4=2^2$ である。さらに$c=0$なら7に関する因子は1，$c=1$なら $1+7=8=2^3$ である。右辺$2016$に含まれる2の指数は5だから，これを作るには $b=1,c=1$ でなければならない。

このとき $$s(n)=(2^{a+1}-1)\cdot 4\cdot 8=32(2^{a+1}-1)$$ である。$s(n)=2016$より $$2^{a+1}-1=\frac{2016}{32}=63$$ となる。よって $2^{a+1}=64=2^6$ であり，$a=5$である。

したがって求める約数は $n=2^5\cdot 3\cdot 7=672$ のみである。実際，$$s(672)=(1+2+\cdots +2^5)(1+3)(1+7)=63\cdot 4\cdot 8=2016$$ となり，条件を満たす。

2016の約数は$2^a{3}^b{7}^c$に限られ，各指数の候補も有限である。約数和の3因子を表にして，積が$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$となる行だけを選ぶ。抽象的な場合分けを，漏れのない有限表に置き換える。

(1)
$2^{k}p$の約数は$2^i$と$2^{i}p$$(0\leqq i\leqq k)$であるから$$s(2^{k}p)=(1+2+\cdots +2^k)(1+p)=(2^{k+1}-1)(p+1)\mathrm{.}$$(2)
$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$より$$s(2016)=(2^6-1)(1+3+9)(1+7)=63\cdot 13\cdot 8=\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">6552</mn>}\mathrm{.}$$(3)
$n=2^a{3}^b{7}^c$$$(0\leqq a\leqq 5,0\leqq b\leqq 2,0\leqq c\leqq 1)$$とおく。各素因数部分の約数和は$$\begin{array}{ccccccc}a& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ s(2^a)& 1& 3& 7& 15& 31& 63\end{array}$$および$$\begin{array}{cccc}b& 0& 1& 2\\ s(3^b)& 1& 4& 13\end{array}\begin{array}{ccc}c& 0& 1\\ s(7^c)& 1& 8\end{array}\mathrm{.}$$ここで$$s(n)=2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$$には因子13がないので$be2$である。また$s(2^a)$は奇数であり，積に含まれる2の指数5を作るには$$s(3^b)s(7^c)=4\cdot 8=2^5$$でなければならない。よって$b=1,c=1$である。残る条件は$$s(2^a)=\frac{2016}{32}=63$$だから，表より$a=5$である。したがって$$n=2^5\cdot 3\cdot 7=\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">672</mn>}\mathrm{.}$$実際，$$s(672)=63\cdot 4\cdot 8=2016$$である。