名古屋大学 2020年度理系数学第1問解答・解説

問題

双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ の $x > 0$ の部分を $C_{1}$ ， $x < 0$ の部分を $C_{2}$ とする。以下の問に答えよ。

(1) 直線 $a x - b y = 1$ が $C_{1}$ ， $C_{2}$ の両方と1点ずつで交わるための $a, b$ の条件を求めよ。

(2) $a, b$ は(1)で求めた条件をみたすものとする。点 $A (a, b)$ をとり，直線 $a x - b y = 1$ と $C_{1}$ ， $C_{2}$ の交点をそれぞれ $P$ ， $Q$ とする。このとき $△ A P Q$ の面積 $S$ を $a, b$ を用いて表せ。

(3) 面積 $S$ の最小値を求めよ。また，その最小値をとるための $a, b$ の条件を求めよ。

出典：名古屋大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1（交点間距離と高さから求める方法）

直線を双曲線へ代入し、2交点の $x$ 座標が異符号になる条件を解の積から求める。三角形の底辺 $P Q$ と、点 $A$ から直線までの距離を別々に計算し、 $u = b^{2} - a^{2}$ の1変数へまとめる。

解法2（行列式と相加相乗平均で求める方法）

交点を結ぶベクトルが直線の方向ベクトル $(b, a)$ に平行であることを使い、三角形の面積を行列式で直接計算する。最小化は微分せず、3項の相加相乗平均で行う。

解答

解法1（交点間距離と高さから求める方法）

(1)

$b = 0$ なら直線は縦線 $a x = 1$ であり、双曲線の左右の枝と1点ずつ交わることはない。以下 $b \neq = 0$ とする。

y = \frac{a x - 1}{b}

を $x^{2} - y^{2} = 1$ に代入すると

(b^{2} - a^{2}) x^{2} + 2 a x - (1 + b^{2}) = 0.

左右の枝と1点ずつ交わることは、この2次方程式が異符号の2実根をもつことと同値である。解の積は

- \frac{1 + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}

なので、これが負になる条件は

b^{2} - a^{2} > 0

である。この条件のもとでは実際に異符号の2根をもつ。

(2)

u = b^{2} - a^{2} > 0

とおく。交点の $x$ 座標の差は、上の2次方程式の判別式から

∣ x_{P} - x_{Q} ∣ = \frac{2∣ b ∣ 1 + u}{u}

である。直線上では $y = (a x - 1) / b$ だから

P Q = ∣ x_{P} - x_{Q} ∣ 1 + \frac{a ^{2}}{b ^{2}} = \frac{2 a ^{2} + b ^{2} 1 + u}{u} .

点 $A (a, b)$ から直線 $a x - b y = 1$ までの距離は

\frac{∣ a ^{2} - b ^{2} - 1∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{1 + u}{a ^{2} + b ^{2}} .

したがって

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 a ^{2} + b ^{2} 1 + u}{u} \cdot \frac{1 + u}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{( 1 + u ) ^{3/2}}{u} .

ゆえに

S = \frac{( 1 + b ^{2} - a ^{2} ) ^{3/2}}{b ^{2} - a ^{2}} .

(3)

S^{'} (u) = \frac{1 + u ( u - 2 )}{2 u ^{2}} .

よって $S$ は $0 < u < 2$ で減少し、 $u > 2$ で増加する。したがって

b^{2} - a^{2} = 2

のとき最小値

\frac{3 3}{2}

をとる。

解法2（行列式と相加相乗平均で求める方法）

(1)

直線を双曲線に代入して得る方程式は

(b^{2} - a^{2}) x^{2} + 2 a x - (1 + b^{2}) = 0.

2交点が左右の枝に分かれるための必要十分条件は、2つの $x$ 座標の積が負であることである。よって

- \frac{1 + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}} < 0

から

b^{2} - a^{2} > 0

を得る。

(2)

$u = b^{2} - a^{2}$ とおく。交点を

P = (x_{P}, \frac{a x _{P} - 1}{b}), Q = (x_{Q}, \frac{a x _{Q} - 1}{b})

とすれば

P Q = (x_{Q} - x_{P}) (1, \frac{a}{b}) .

したがって、三角形 $A P Q$ の面積は行列式を用いて

S = \frac{1}{2} ∣ x_{Q} - x_{P} ∣ b - \frac{a x _{P} - 1}{b} - \frac{a}{b} (a - x_{P}) = \frac{1}{2} ∣ x_{Q} - x_{P} ∣ \frac{1 + u}{∣ b ∣} .

一方、2次方程式の解の差から

∣ x_{Q} - x_{P} ∣ = \frac{2∣ b ∣ 1 + u}{u} .

ゆえに

S = \frac{( 1 + u ) ^{3/2}}{u} = \frac{( 1 + b ^{2} - a ^{2} ) ^{3/2}}{b ^{2} - a ^{2}} .

(3)

$u > 0$ に対して

1 + u = 1 + \frac{u}{2} + \frac{u}{2}

と3項に分ける。相加相乗平均より

(\frac{1 + u}{3})^{3} ≧ 1 \cdot \frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2} = \frac{u ^{2}}{4} .

したがって

S^{2} = \frac{( 1 + u ) ^{3}}{u ^{2}} ≧ \frac{27}{4},

すなわち

S ≧ \frac{3 3}{2} .

等号は $1 = u /2$ 、つまり $u = 2$ のときに成立する。よって最小条件は

b^{2} - a^{2} = 2

である。

名古屋大学 2020年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（交点間距離と高さから求める方法）

解法2（行列式と相加相乗平均で求める方法）

解答

解法1（交点間距離と高さから求める方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（行列式と相加相乗平均で求める方法）

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2020年度
理系数学第1問