名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

$b=0$ なら直線は縦線 $ax=1$ であり、双曲線の左右の枝と1点ずつ交わることはない。以下 $b\mathrm{\ne }0$ とする。$$y=\frac{ax-1}{b}$$を $x^2-y^2=1$ に代入すると$$(b^2-a^2)x^2+2ax-(1+b^2)=0.$$左右の枝と1点ずつ交わることは、この2次方程式が異符号の2実根をもつことと同値である。解の積は$$-\frac{1+b^2}{b^2-a^2}$$なので、これが負になる条件は$$b^2-a^2>0$$である。この条件のもとでは実際に異符号の2根をもつ。

(2) $$u=b^2-a^2>0$$とおく。交点の $x$ 座標の差は、上の2次方程式の判別式から$$\mathrm{\mid }{x}_P-x_Q\mathrm{\mid }=\frac{2\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\sqrt{1+u}}{u}$$である。直線上では $y=(ax-1)\mathrm{/}b$ だから$$PQ=\mathrm{\mid }{x}_P-x_Q\mathrm{\mid }\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{1+u}}{u}\mathrm{.}$$点 $A(a,b)$ から直線 $ax-by=1$ までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }{a}^2-b^2-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1+u}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{1+u}}{u}\cdot \frac{1+u}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1+u{)}^{3\mathrm{/}2}}{u}\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$S=\frac{(1+b^2-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{b^2-a^2}\mathrm{.}$$(3)$$S^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{\sqrt{1+u}(u-2)}{2u^2}\mathrm{.}$$よって $S$ は $0<u<2$ で減少し、$u>2$ で増加する。したがって$$b^2-a^2=2$$のとき最小値$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$をとる。

交点を結ぶベクトルが直線の方向ベクトル $(b,a)$ に平行であることを使い、三角形の面積を行列式で直接計算する。最小化は微分せず、3項の相加相乗平均で行う。

(1)

直線を双曲線に代入して得る方程式は$$(b^2-a^2)x^2+2ax-(1+b^2)=0.$$2交点が左右の枝に分かれるための必要十分条件は、2つの $x$ 座標の積が負であることである。よって$$-\frac{1+b^2}{b^2-a^2}<0$$から$$b^2-a^2>0$$を得る。

(2)

$u=b^2-a^2$ とおく。交点を$$P=(x_P,\frac{a{x}_P-1}{b}),Q=(x_Q,\frac{a{x}_Q-1}{b})$$とすれば$$\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P)(1,\frac{a}{b})\mathrm{.}$$したがって、三角形 $APQ$ の面積は行列式を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{x}_Q-x_P\mathrm{\mid }\mid b-\frac{a{x}_P-1}{b}-\frac{a}{b}(a-x_P)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{x}_Q-x_P\mathrm{\mid }\frac{1+u}{\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、2次方程式の解の差から$$\mathrm{\mid }{x}_Q-x_P\mathrm{\mid }=\frac{2\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\sqrt{1+u}}{u}\mathrm{.}$$ゆえに$$S=\frac{(1+u{)}^{3\mathrm{/}2}}{u}=\frac{(1+b^2-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{b^2-a^2}\mathrm{.}$$(3)

$u>0$ に対して$$1+u=1+\frac{u}{2}+\frac{u}{2}$$と3項に分ける。相加相乗平均より$${\left(\frac{1+u}{3}\right)}^3\geqq 1\cdot \frac{u}{2}\cdot \frac{u}{2}=\frac{u^2}{4}\mathrm{.}$$したがって$$S^2=\frac{(1+u{)}^3}{u^2}\geqq \frac{27}{4},$$すなわち$$S\geqq \frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$等号は $1=u\mathrm{/}2$、つまり $u=2$ のときに成立する。よって最小条件は$$b^2-a^2=2$$である。