名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

定義から$$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$$また$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)+f^{\mathrm{\prime }}(\pi -x)-f^{\mathrm{\prime }}(\pi +x)-f^{\mathrm{\prime }}(2\pi -x)\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ より $f^{\mathrm{\prime }}$ は増加する。$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では$$x\leqq \pi +x,\pi -x\leqq 2\pi -x$$だから $F^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ である。したがって $F$ はこの区間で減少し、$$F(x)\geqq F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$$(2)

積分を4区間に分け、それぞれを $[0,\pi \mathrm{/}2]$ へ移すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }f(x)\cos xdx=}& {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(x)\cos xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(\pi -x)\cos xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(\pi +x)\cos xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(2\pi -x)\cos xdx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}F(x)\cos xdx\mathrm{.}}\end{array}$$(1)より $F(x)\geqq 0$、またこの区間では $\cos x\geqq 0$ だから$${\int }_0^{2\pi }f(x)\cos xdx\geqq 0.$$(3)

後半の積分に $t=2\pi -x$ を用いると$${\int }_0^{2\pi }g(x)\sin xdx={\int }_0^{\pi }\{g(x)-g(2\pi -x)\}\sin xdx\mathrm{.}$$$0<x<\pi$ では $x<2\pi -x$ であり、$g$ は減少するので$$g(x)>g(2\pi -x)\mathrm{.}$$また $\sin x>0$ だから、被積分関数は非負である。よって$${\int }_0^{2\pi }g(x)\sin xdx\geqq 0.$$

（1）は関数値の差を導関数の定積分で表し、$f^{\mathrm{\prime }}$ の増加性を直接使う。（2）は部分積分後に $x$ と $2\pi -x$ を対にする。（3）は $g$ の原始関数を導入して（2）へ帰着する。

(1)

$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ のとき$$f(\pi -x)-f(x)={\int }_x^{\pi -x}{f}^{\mathrm{\prime }}(t)dt$$である。また変数を $\pi$ だけずらすと$$f(2\pi -x)-f(\pi +x)={\int }_x^{\pi -x}{f}^{\mathrm{\prime }}(t+\pi )dt\mathrm{.}$$したがって$$F(x)={\int }_x^{\pi -x}\{f^{\mathrm{\prime }}(t+\pi )-f^{\mathrm{\prime }}(t)\}dt\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$ より $f^{\mathrm{\prime }}$ は増加し、常に$$f^{\mathrm{\prime }}(t+\pi )-f^{\mathrm{\prime }}(t)>0.$$積分区間の向きも正だから$$F(x)\geqq 0.$$(2)

部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }f(x)\cos xdx}& {\displaystyle ={[f(x)\sin x]}_0^{2\pi }-{\int }_0^{2\pi }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_0^{2\pi }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\sin xdx\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$${\int }_0^{2\pi }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\sin xdx={\int }_0^{\pi }\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-f^{\mathrm{\prime }}(2\pi -x)\}\sin xdx\mathrm{.}$$$0<x<\pi$ では $x<2\pi -x$ なので、$f^{\mathrm{\prime }}$ の増加性から中括弧内は負である。ゆえに右辺は0以下であり、$${\int }_0^{2\pi }f(x)\cos xdx\geqq 0.$$(3)

$G^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)$ となる原始関数 $G$ を取る。$f=-G$ とおけば$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-g^{\mathrm{\prime }}(x)>0.$$したがって(2)を $f=-G$ に適用して$$-{\int }_0^{2\pi }G(x)\cos xdx\geqq 0.$$また部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }g(x)\sin xdx}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }{G}^{\mathrm{\prime }}(x)\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[G(x)\sin x]}_0^{2\pi }-{\int }_0^{2\pi }G(x)\cos xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_0^{2\pi }G(x)\cos xdx\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める不等式が従う。