名古屋大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

以下の問に答えよ。

(1) 関数 $f (x)$ は，区間 $0 ≦ x ≦ 2 π$ で第2次導関数 $f^{''} (x)$ をもち $f^{''} (x) > 0$ をみたしているとする。区間 $0 ≦ x ≦ π$ で関数 $F (x)$ を

F (x) = f (x) - f (π - x) - f (π + x) + f (2 π - x)

と定義するとき，区間 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $F (x) ≧ 0$ であることを示せ。

(2) $f (x)$ を(1)の関数とするとき

\int_{0}^{2 π} f (x) cos x d x ≧ 0

を示せ。

(3) 関数 $g (x)$ は，区間 $0 ≦ x ≦ 2 π$ で導関数 $g^{'} (x)$ をもち $g^{'} (x) < 0$ をみたしているとする。このとき，

\int_{0}^{2 π} g (x) sin x d x ≧ 0

を示せ。

出典：名古屋大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1（単調性と4区間分割を使う方法）

$F (π /2) = 0$ と $F^{'} (x) ≦ 0$ を示す。（2）は積分区間を4分割してすべて $[0, π /2]$ へ移し、被積分関数を $F (x) cos x$ にまとめる。（3）は $x$ と $2 π - x$ を対にする。

解法2（導関数の積分と部分積分を使う方法）

（1）は関数値の差を導関数の定積分で表し、 $f^{'}$ の増加性を直接使う。（2）は部分積分後に $x$ と $2 π - x$ を対にする。（3）は $g$ の原始関数を導入して（2）へ帰着する。

解答

解法1（単調性と4区間分割を使う方法）

(1)

定義から

F (\frac{π}{2}) = 0.

また

F^{'} (x) = f^{'} (x) + f^{'} (π - x) - f^{'} (π + x) - f^{'} (2 π - x) .

$f^{''} (x) > 0$ より $f^{'}$ は増加する。 $0 ≦ x ≦ π /2$ では

x ≦ π + x, π - x ≦ 2 π - x

だから $F^{'} (x) ≦ 0$ である。したがって $F$ はこの区間で減少し、

F (x) ≧ F (\frac{π}{2}) = 0.

(2)

積分を4区間に分け、それぞれを $[0, π /2]$ へ移すと

\int_{0}^{2 π} f (x) cos x d x = = \int_{0}^{π /2} f (x) cos x d x - \int_{0}^{π /2} f (π - x) cos x d x - \int_{0}^{π /2} f (π + x) cos x d x + \int_{0}^{π /2} f (2 π - x) cos x d x \int_{0}^{π /2} F (x) cos x d x .

(1)より $F (x) ≧ 0$ 、またこの区間では $cos x ≧ 0$ だから

\int_{0}^{2 π} f (x) cos x d x ≧ 0.

(3)

後半の積分に $t = 2 π - x$ を用いると

\int_{0}^{2 π} g (x) sin x d x = \int_{0}^{π} {g (x) - g (2 π - x)} sin x d x .

$0 < x < π$ では $x < 2 π - x$ であり、 $g$ は減少するので

g (x) > g (2 π - x) .

また $sin x > 0$ だから、被積分関数は非負である。よって

\int_{0}^{2 π} g (x) sin x d x ≧ 0.

解法2（導関数の積分と部分積分を使う方法）

(1)

$0 ≦ x ≦ π /2$ のとき

f (π - x) - f (x) = \int_{x}^{π - x} f^{'} (t) d t

である。また変数を $π$ だけずらすと

f (2 π - x) - f (π + x) = \int_{x}^{π - x} f^{'} (t + π) d t .

したがって

F (x) = \int_{x}^{π - x} {f^{'} (t + π) - f^{'} (t)} d t .

$f^{''} > 0$ より $f^{'}$ は増加し、常に

f^{'} (t + π) - f^{'} (t) > 0.

積分区間の向きも正だから

F (x) ≧ 0.

(2)

部分積分により

\int_{0}^{2 π} f (x) cos x d x = [f (x) sin x]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} f^{'} (x) sin x d x = - \int_{0}^{2 π} f^{'} (x) sin x d x .

一方、

\int_{0}^{2 π} f^{'} (x) sin x d x = \int_{0}^{π} {f^{'} (x) - f^{'} (2 π - x)} sin x d x .

$0 < x < π$ では $x < 2 π - x$ なので、 $f^{'}$ の増加性から中括弧内は負である。ゆえに右辺は0以下であり、

\int_{0}^{2 π} f (x) cos x d x ≧ 0.

(3)

$G^{'} (x) = g (x)$ となる原始関数 $G$ を取る。 $f = - G$ とおけば

f^{''} (x) = - G^{''} (x) = - g^{'} (x) > 0.

したがって(2)を $f = - G$ に適用して

- \int_{0}^{2 π} G (x) cos x d x ≧ 0.

また部分積分により

\int_{0}^{2 π} g (x) sin x d x = \int_{0}^{2 π} G^{'} (x) sin x d x = [G (x) sin x]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} G (x) cos x d x = - \int_{0}^{2 π} G (x) cos x d x .

よって求める不等式が従う。

名古屋大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1（単調性と4区間分割を使う方法）

解法2（導関数の積分と部分積分を使う方法）

解答

解法1（単調性と4区間分割を使う方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（導関数の積分と部分積分を使う方法）

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2020年度
理系数学第3問