名古屋大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

3つの数 $2, m^{2} + 1, m^{4} + 1$ が相異なる素数となる正の整数 $m$ が1つ固定されているものとする。以下の問に答えよ。

(1) 3つの数 $2, m^{2} + 1, m^{4} + 1$ のうち，1つを $a$ とし，残りの2つを $b, c$ とする。このとき $a^{2} < b c$ となる $a$ をすべて求めよ。

(2) 正の整数 $x, y$ が $(x + y) (x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y) = 2 (m^{2} + 1) (m^{4} + 1)$ をみたしているとき $x, y$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1（約数候補を不等式で絞る方法）

$p = m^{2} + 1, q = m^{4} + 1$ と置き、まず $m$ が偶数であることを確認する。（2）は $s = x + y$ とおき、 $s ∣ 2 pq$ と $s^{3} < 2 pq$ を同時に使って候補を絞る。

解法2（因数の組を大小関係で分類する方法）

$s = x + y, t = s^{2} + y^{2}$ と置くと $s t = 2 pq$ かつ $t > s^{2}$ になる。 $2 pq$ の因数の組を小さい順に並べ、 $s < t$ と $t > s^{2}$ で候補を直接除外する。

解答

解法1（約数候補を不等式で絞る方法）

以下

p = m^{2} + 1, q = m^{4} + 1

とおく。 $m$ が奇数なら $p$ は2より大きい偶数になるため素数ではない。したがって $m$ は偶数で、 $m ≧ 2$ である。特に

2 < p < q

である。

(1)

$a = 2$ なら

a^{2} = 4 < pq .

$a = p$ なら

p^{2} < 2 q ⟺ (m^{2} - 1)^{2} > 0

なので条件を満たす。一方 $a = q$ なら $q^{2} > 2 p$ であり、条件を満たさない。よって

a = 2, a = m^{2} + 1.

(2)

s = x + y

とおくと $s ≧ 2$ 、 $0 < y < s$ であり、

x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = s^{2} + y^{2} .

したがって

s (s^{2} + y^{2}) = 2 pq .

とくに $s ∣ 2 pq$ である。また $y < s$ より

s^{3} < s (s^{2} + y^{2}) = 2 pq .

$2, p, q$ は相異なる素数なので、 $s ≧ 2$ の約数候補は

2, p, q, 2 p, 2 q, pq, 2 pq

である。 $s ≧ q$ なら

s^{3} ≧ q^{3} > 2 pq

となる。実際 $q^{2} > 2 p$ である。また $s = 2 p$ なら、必要条件 $8 p^{3} < 2 pq$ は $4 p^{2} < q$ を意味するが

p^{2} = (m^{2} + 1)^{2} > m^{4} + 1 = q

に反する。したがって

s = 2 または s = p .

$s = 2$ なら $x = y = 1$ だが、このとき $s^{2} + y^{2} = 5$ である。一方、式から $s^{2} + y^{2} = pq > 5$ が必要なので不適である。

$s = p$ なら

p^{2} + y^{2} = 2 q

だから

y^{2} = 2 (m^{4} + 1) - (m^{2} + 1)^{2} = (m^{2} - 1)^{2} .

$y > 0$ より $y = m^{2} - 1$ 、さらに

x = s - y = 2.

よって

(x, y) = (2, m^{2} - 1) .

解法2（因数の組を大小関係で分類する方法）

$p = m^{2} + 1, q = m^{4} + 1$ とおく。素数条件から $m$ は偶数で $m ≧ 2$ である。

(1)

2^{2} < pq

は明らかである。また

2 q - p^{2} = 2 (m^{4} + 1) - (m^{2} + 1)^{2} = (m^{2} - 1)^{2} > 0

だから $p^{2} < 2 q$ である。最大の素数 $q$ については $q^{2} > 2 p$ なので不可である。ゆえに

a = 2, a = p = m^{2} + 1.

(2)

s = x + y, t = s^{2} + y^{2}

とおくと

s t = 2 pq, t > s^{2} .

さらに $m ≧ 2$ より

q - 2 p = m^{4} - 2 m^{2} - 1 > 0

なので

2 < p < 2 p < q .

相異なる3素数の積 $2 pq$ の因数の組を、小さい因数が先になるように並べると

(1, 2 pq), (2, pq), (p, 2 q), (2 p, q)

である。 $s = x + y ≧ 2$ だから最初の組は除かれる。

最後の組では $s = 2 p, t = q$ となるが、 $t > s^{2}$ なら

q > 4 p^{2}

が必要である。これは $p^{2} > q$ に反する。したがって

(s, t) = (2, pq) または (p, 2 q) .

$s = 2$ なら $x = y = 1$ で $t = 5 \neq = pq$ だから不適である。 $s = p$ なら

y^{2} = t - s^{2} = 2 q - p^{2} = (m^{2} - 1)^{2} .

正の平方根を取り

y = m^{2} - 1, x = p - y = 2.

したがって

(x, y) = (2, m^{2} - 1) .

名古屋大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（約数候補を不等式で絞る方法）

解法2（因数の組を大小関係で分類する方法）

解答

解法1（約数候補を不等式で絞る方法）

(1)

(2)

解法2（因数の組を大小関係で分類する方法）

(1)

(2)

名古屋大学 2020年度
理系数学第2問