名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

以下$$p=m^2+1,q=m^4+1$$とおく。$m$ が奇数なら $p$ は2より大きい偶数になるため素数ではない。したがって $m$ は偶数で、$m\geqq 2$ である。特に$$2<p<q$$である。

(1)

$a=2$ なら$$a^2=4<pq\mathrm{.}$$$a=p$ なら$$p^2<2q⟺(m^2-1{)}^2>0$$なので条件を満たす。一方 $a=q$ なら $q^2>2p$ であり、条件を満たさない。よって$$a=2,a=m^2+1.$$(2)$$s=x+y$$とおくと $s\geqq 2$、$0<y<s$ であり、$$x^2+2xy+2y^2=s^2+y^2\mathrm{.}$$したがって$$s(s^2+y^2)=2pq\mathrm{.}$$とくに $s\mid 2pq$ である。また $y<s$ より$$s^3<s(s^2+y^2)=2pq\mathrm{.}$$$2,p,q$ は相異なる素数なので、$s\geqq 2$ の約数候補は$$2,p,q,2p,2q,pq,2pq$$である。$s\geqq q$ なら$$s^3\geqq q^3>2pq$$となる。実際 $q^2>2p$ である。また $s=2p$ なら、必要条件 $8p^3<2pq$ は $4p^2<q$ を意味するが$$p^2=(m^2+1{)}^2>m^4+1=q$$に反する。したがって$$s=2\text{または}s=p\mathrm{.}$$$s=2$ なら $x=y=1$ だが、このとき $s^2+y^2=5$ である。一方、式から $s^2+y^2=pq>5$ が必要なので不適である。

$s=p$ なら$$p^2+y^2=2q$$だから$$y^2=2(m^4+1)-(m^2+1{)}^2=(m^2-1{)}^2\mathrm{.}$$$y>0$ より $y=m^2-1$、さらに$$x=s-y=2.$$よって$$(x,y)=(2,m^2-1)\mathrm{.}$$

$s=x+y,t=s^2+y^2$ と置くと $st=2pq$ かつ $t>s^2$ になる。$2pq$ の因数の組を小さい順に並べ、$s<t$ と $t>s^2$ で候補を直接除外する。

$p=m^2+1,q=m^4+1$ とおく。素数条件から $m$ は偶数で $m\geqq 2$ である。

(1) $$2^2<pq$$は明らかである。また$$2q-p^2=2(m^4+1)-(m^2+1{)}^2=(m^2-1{)}^2>0$$だから $p^2<2q$ である。最大の素数 $q$ については $q^2>2p$ なので不可である。ゆえに$$a=2,a=p=m^2+1.$$(2)$$s=x+y,t=s^2+y^2$$とおくと$$st=2pq,t>s^2\mathrm{.}$$さらに $m\geqq 2$ より$$q-2p=m^4-2m^2-1>0$$なので$$2<p<2p<q\mathrm{.}$$相異なる3素数の積 $2pq$ の因数の組を、小さい因数が先になるように並べると$$(1,2pq),(2,pq),(p,2q),(2p,q)$$である。$s=x+y\geqq 2$ だから最初の組は除かれる。

最後の組では $s=2p,t=q$ となるが、$t>s^2$ なら$$q>4p^2$$が必要である。これは $p^2>q$ に反する。したがって$$(s,t)=(2,pq)\text{または}(p,2q)\mathrm{.}$$$s=2$ なら $x=y=1$ で $t=5\mathrm{\ne }pq$ だから不適である。$s=p$ なら$$y^2=t-s^2=2q-p^2=(m^2-1{)}^2\mathrm{.}$$正の平方根を取り$$y=m^2-1,x=p-y=2.$$したがって$$(x,y)=(2,m^2-1)\mathrm{.}$$