名古屋大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $C_1:y=x^2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2x$ である。したがって点 $(t,t^2)$ における接線の傾きは $2t$ であり，接線は $y-t^2=2t(x-t)$ すなわち $y=2tx-t^2$ である。

(2)

(1) の直線が $C_2$ にも接するとする。$C_2$ との交点の $x$ 座標は $$-x^2+4ax-4a^2+4a^4=2tx-t^2$$ を満たす。整理すると $$x^2+(2t-4a)x+4a^2-4a^4-t^2=0$$ である。

この2次方程式が重解をもつことが接する条件であるから，判別式を0にして $$(2t-4a{)}^2-4(4a^2-4a^4-t^2)=0$$ を得る。これを整理すると $t^2-2at+2a^4=0$ である。

異なる2つの共通接線をもつには，この $t$ の2次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。したがって $$(-2a{)}^2-4\cdot 1\cdot 2a^4>0$$ であり，$4a^2(1-2a^2)>0$ である。$a>0$ より，求める範囲は $${\displaystyle 0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。

(3) $$d=\sqrt{1-2a^2}$$ とおく。(2) の2次方程式の2解を $t_1,t_2$ とすると $$t_1=a(1-d),t_2=a(1+d)$$ である。2つの接線は $$y=2t_{1}x-t_1^2,y=2t_{2}x-t_2^2$$ である。

交点の $x$ 座標は $2t_{1}x-t_1^2=2t_{2}x-t_2^2$ より，$t_1\mathrm{\ne }{t}_2$ に注意して $2x=t_1+t_2$ である。したがって $${\displaystyle x=\frac{t_1+t_2}{2}=a}$$ である。この値を接線の式に代入すると $$y=2t_{1}a-t_1^2=t_1(2a-t_1)$$ であるが，$t_1+t_2=2a$ なので $y=t_1{t}_2=2a^4$ である。よって交点は $(a,2a^4)$ である。

形状確認のため $${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$$ の場合を描いた。

(4) $t_1<t_2$ とする。2本の接線の差は $$(2t_{1}x-t_1^2)-(2t_{2}x-t_2^2)=2(t_1-t_2)(x-a)$$ である。$t_1<t_2$ なので，$x<a$ では左側の接線 $y=2t_{1}x-t_1^2$ の方が上にある。

また放物線 $C_1$ とその接線の差は $$x^2-(2t_{1}x-t_1^2)=(x-t_1{)}^2$$ である。したがって $D_1$ と $D_2:x\leqq a$ の共通部分の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_{t_1}^a\{x^2-(2t_{1}x-t_1^2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{t_1}^a(x-t_1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a-t_1{)}^3}{3}}\end{array}$$である。

ここで $$a-t_1=a-a(1-d)=ad=a\sqrt{1-2a^2}$$ だから $${\displaystyle S(a)=\frac{a^3(1-2a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}$$ である。

(5)

(4) より $${\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}\{a^2(1-2a^2){\}}^{3\mathrm{/}2}}$$ である。$0<a<1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なので $${\displaystyle 0<a^2<\frac{1}{2}}$$ である。ここで $u=a^2$ とおくと，$S(a)$ を最大にするには $u(1-2u)$ を $0<u<1\mathrm{/}2$ で最大にすればよい。

この2次式は $${\displaystyle u(1-2u)=-2{(u-\frac{1}{4})}^2+\frac{1}{8}}$$ であるから，$u=1\mathrm{/}4$ のとき最大値 $1\mathrm{/}8$ をとる。これは $a=1\mathrm{/}2$ に対応し，条件範囲内にある。

したがって $${\displaystyle S(a)\leqq \frac{1}{3}{\left(\frac{1}{8}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{\sqrt{2}}{96}}$$ であり，求める最大値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{96}}$ である。

もう一方の放物線 $C_2$ の接点を $s$ とし，その接線の傾きと切片を $C_1$ の接線と直接比較する。共通接線条件を2つの係数条件に分けることで，交点方程式の判別式を計算せずに接点パラメータ $t$ の2次方程式を得る。後半は解と係数の関係で交点・面積を整理する。

(1) $C_1$ の点 $(t,t^2)$ における接線は$$y=2tx-t^2$$である。

(2) $C_2$ の点 $(s,-s^2+4as-4a^2+4a^4)$ における接線は$$y=(-2s+4a)x+s^2-4a^2+4a^4$$である。これが上の直線と一致するための条件は$$2t=-2s+4a,-t^2=s^2-4a^2+4a^4$$である。第1式から $s=2a-t$ であり，第2式へ代入すると$$t^2-2at+2a^4=0$$を得る。この方程式が異なる2実根をもつ条件は$$4a^2(1-2a^2)>0$$であるから，$a>0$ と合わせて $0<a<1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。

(3) 2根を $t_1<t_2$ とすると$$t_1+t_2=2a,t_1{t}_2=2a^4$$である。2接線の交点では$$2t_{1}x-t_1^2=2t_{2}x-t_2^2$$だから $x=(t_1+t_2)\mathrm{/}2=a$ であり，$y=t_1{t}_2=2a^4$ である。

(4) $$d=\sqrt{1-2a^2}$$ とおけば $t_1=a(1-d)$ である。$x\leqq a$ 側では $t_1$ における接線が境界となり，放物線との差は $(x-t_1{)}^2$ だから$$S(a)={\int }_{t_1}^a(x-t_1{)}^{2}dx=\frac{(a-t_1{)}^3}{3}=\frac{a^3(1-2a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}$$である。

(5) $u=a^2$ とおけば$$S(a)=\frac{1}{3}\{u(1-2u){\}}^{3\mathrm{/}2},0<u<\frac{1}{2}$$である。$u(1-2u)=-2(u-1\mathrm{/}4{)}^2+1\mathrm{/}8$ より，$u=1\mathrm{/}4$，すなわち $a=1\mathrm{/}2$ のとき最大となる。したがって最大値は$$\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{8}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{\sqrt{2}}{96}$$である。