名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$n$回のうち裏が$r$回出たとする。表は$n-r$回である。表が出ると2だけ，裏が出ると3だけ進むので，最終位置は $a_n=2(n-r)+3r=2n+r$ である。したがって $a_n=2n+r$ である。

(2)
$n=4$のとき，得点が0でないための条件は $a_4=2\cdot 4+2=10$ である。(1)より$a_4=8+r$なので，これは $r=2$ と同値である。よって得点が0でない確率は $$\frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{2^4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$ である。

次に，裏が出た回を$i<j$とする。4回とも表だった場合，位置は$2,4,6,8$であり，その和は $2+4+6+8=20$ である。$i$回目に裏が出ると，$i$回目以後の位置$a_i,a_{i+1},\dots ,a_4$が，すべて表の場合よりそれぞれ1だけ大きくなる。したがって，$i$回目の裏の寄与は $5-i$ である。同様に$j$回目の裏の寄与は$5-j$である。

よって得点は $20+(5-i)+(5-j)=30-(i+j)$ である。これが25となる条件は $i+j=5$ であり，$1\leqq i<j\leqq 4$でこれを満たすのは $(i,j)=(1,4),(2,3)$ の2通りである。したがって得点が25である確率は $\frac{2}{2^4}=\frac{1}{8}$ である。

(3)
$n=9$のときも，得点が0でないためには $a_9=2\cdot 9+2=20$ でなければならない。(1)より$a_9=18+r$なので，やはり裏の回数は $r=2$ である。

裏が出た回を$i<j$とする。9回とも表だった場合の位置の和は $2(1+2+\cdots +9)=90$ である。$i$回目の裏は$a_i,a_{i+1},\dots ,a_9$をそれぞれ1だけ増やすので，寄与は$10-i$である。同様に$j$回目の裏の寄与は$10-j$である。したがって得点は $$90+(10-i)+(10-j)=110-(i+j)$$ となる。

得点が100となる条件は $110-(i+j)=100$ すなわち $i+j=10$ である。$1\leqq i<j\leqq 9$でこれを満たすのは $(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)$ の4通りである。よって得点が100である確率は $$\frac{4}{2^9}=\frac{1}{128}$$ である。

得点が奇数であるためには，まず得点が0でない必要があるので，裏は2回である。そのうえで得点 $110-(i+j)$ が奇数となるには，$i+j$が奇数であればよい。$1,2,\dots ,9$のうち奇数は5個，偶数は4個であるから，$i,j$の一方が奇数，他方が偶数となる選び方は $5\cdot 4=20$ 通りである。したがって得点が奇数である確率は $$\frac{20}{2^9}=\frac{5}{128}$$ である。