名古屋大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
条件 $ab+2c\geqq abc$ は $ab(c-1)\leqq 2c$ と同値である。 $c=1$ のときは左辺が0なので、任意の $(a,b)$ で条件が成り立つ。したがって $36$ 通りである。 $c\geqq 2$ のときは $$ab\leqq \frac{2c}{c-1}$$ である。各 $c$ について、$1\leqq a,b\leqq 6$ を満たす組の個数を数えると$$\begin{array}{ccc}c& ab\leqq {\displaystyle \frac{2c}{c-1}}& (a,b)\text{ の個数}\\ 2& ab\leqq 4& 8\\ 3& ab\leqq 3& 5\\ 4& ab\leqq {\displaystyle \frac{8}{3}}& 3\\ 5& ab\leqq {\displaystyle \frac{10}{4}}& 3\\ 6& ab\leqq {\displaystyle \frac{12}{5}}& 3\end{array}$$である。たとえば $ab\leqq 4$ の場合は $$(a,b)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)$$ の8通りである。

したがって有利な場合は $36+8+5+3+3+3=58$ 通りであり、求める確率は $$\frac{58}{216}=\frac{29}{108}$$ である。

(2) $N=ab+2c,M=2abc$ とおく。$M$ は偶数であるから、$N$ が偶数なら $N$ と $M$ は互いに素でない。$2c$ は偶数なので、$N=ab+2c$ が奇数であるためには $ab$ が奇数、すなわち $a,b\in \{1,3,5\}$ でなければならない。

以下、$a,b$ は奇数とする。奇数の素数 $p$ が $ab$ を割るとき、$N=ab+2c\equiv 2c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ である。$p\mathrm{\ne }2$ なので、$p\mid N$ は $p\mid c$ と同値である。また、$p\mid c$ のときは $N=ab+2c\equiv ab(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ である。したがって $N$ と $M=2abc$ が互いに素であるための条件は $$a,b\in \{1,3,5\},\gcd (ab,c)=1$$ である。 $(a,b)$ を $ab$ が3や5で割り切れるかで分類する。$$\begin{array}{ccc}ab\text{ の性質}& (a,b)\text{ の個数}& c\text{ の個数}\\ 3\text{でも}5\text{でも割り切れない}& 1& 6\\ 3\text{だけで割り切れる}& 3& 4\\ 5\text{だけで割り切れる}& 3& 5\\ 3\text{と}5\text{の両方で割り切れる}& 2& 3\end{array}$$である。よって有利な場合は $$1\cdot 6+3\cdot 4+3\cdot 5+2\cdot 3=39$$ 通りである。したがって求める確率は $$\frac{39}{216}=\frac{13}{72}$$ である。

(1) は $c$ ではなく積 $m=ab$ を先に固定し、許される $c$ の個数を $m\leqq 2,m=3,m=4,m\geqq 5$ に分ける。(2)はユークリッドの互除法の考えで、互いに素の条件を $a,b$ が奇数かつ $\gcd (ab,c)=1$ に言い換え、今度は $c$ の素因数から $(a,b)$ を数える。

(1) $m=ab$ とおく。条件は$$m+2c\geqq mc,c(m-2)\leqq m$$である。

$m\leqq 2$ なら6個の $c$ がすべて可能である。このような $(a,b)$ は
$(1,1),(1,2),(2,1)$ の3組である。$m=3$ なら $c\leqq 3$ であり、
$(a,b)=(1,3),(3,1)$ の各々に3個の $c$ がある。$m=4$ なら $c\leqq 2$ であり、
$(1,4),(2,2),(4,1)$ の各々に2個の $c$ がある。

最後に $m\geqq 5$ なら$$\frac{m}{m-2}<2$$であるから $c=1$ だけが可能である。この範囲の $(a,b)$ は
$36-3-2-3=28$ 組である。したがって有利な場合は$$3\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 2+28\cdot 1=58$$通りであり、求める確率は$$\frac{58}{6^3}=\frac{29}{108}$$である。

(2) $N=ab+2c$, $M=2abc$ とおく。$N$ と $M$ が互いに素なら、偶数 $M$ に対して $N$ は奇数でなければならない。よって $ab$ は奇数、すなわち$$a,b\in \{1,3,5\}$$である。

この条件のもとでは $N$ は奇数なので、共通素因数として2を考える必要はない。奇素数 $p$ が $ab$ と $N=ab+2c$ をともに割れば $p\mid c$ であり、逆に $p$ が $c$ と $N$ をともに割れば $p\mid ab$ である。したがって$$\gcd (N,M)=1⟺a,b\in \{1,3,5\},\gcd (ab,c)=1.$$ここで $c$ を先に固定する。$c=1,2,4$ は3でも5でも割り切れないので、
$(a,b)\in \{1,3,5{\}}^2$ の9組がすべて可能である。$c=3,6$ では $a,b$ に3を含められず、
$(a,b)\in \{1,5{\}}^2$ の4組ずつである。$c=5$ では $a,b$ に5を含められず、
$(a,b)\in \{1,3{\}}^2$ の4組である。よって有利な場合は$$3\cdot 9+2\cdot 4+4=39$$通りであり、求める確率は$$\frac{39}{216}=\frac{13}{72}$$である。