名古屋大学 2023年度
理系数学 第1問

解答

解法1（標準解法）

(1)

$\alpha$ は点1を中心とする半径1の円周上にあるので $|\alpha -1|=1$ である。両辺を2乗すると $(\alpha -1)(\overline{\alpha }-1)=1$ である。展開して $\alpha \overline{\alpha }-\alpha -\overline{\alpha }+1=1$ となるから $\alpha +\overline{\alpha }=\alpha \overline{\alpha }$ である。

(2)

$t=\alpha +\overline{\alpha }$，$u=\beta +\overline{\beta }$ とおく。(1)より $\alpha \overline{\alpha }=t,\beta \overline{\beta }=u$ である。したがって，4次方程式の左辺は

と表される。展開すると

である。これを $x^4-p{x}^3+q{x}^2-rx+s$ と比較して $p=t+u,q=tu+t+u,r=2tu,s=tu$ を得る。

(3)

$\alpha$ が円 $|z-1|=1$ 上にあり，$\alpha \ne \overline{\alpha }$ であるから，$\alpha$ は実数ではない。円周上の点を $\alpha =1+\cos \theta +i\sin \theta$ と書くと，$\sin \theta \ne 0$ であり，$t=\alpha +\overline{\alpha }=2+2\cos \theta$ だから $0<t<4$ である。同様に $0<u<4$ である。また $t=u$ なら2つの2次式 $x^2-tx+t$，$x^2-ux+u$ が一致し，4つの解が相異なることに反する。したがって $t\ne u$ である。 $p=t+u,s=tu$ より，まず $0<p<8,s>0$ である。また相加相乗平均より $s=tu\leqq {\left(\frac{t+u}{2}\right)}^2=\frac{p^2}{4}$ であるが，$t\ne u$ なので等号は成り立たず $s<\frac{p^2}{4}$ である。

さらに $t<4$，$u<4$ より $(4-t)(4-u)>0$ である。これを $p,s$ で表すと $16-4(t+u)+tu>0$ すなわち $s>4p-16$ である。

以上より，点 $(p,s)$ のとりうる範囲は $0<p<8,\max (0,4p-16)<s<\frac{p^2}{4}$ である。したがって座標平面では，放物線 $s=p^2/4$ の下側，かつ $s=0$ と $s=4p-16$ の上側にある開領域を図示すればよい。境界はすべて含まない。

別解（逆に2次方程式の根の範囲を課す）

(1)

$|\alpha -1|=1$ を2乗すると

したがって

(2)

$t=\alpha +\overline{\alpha }$，$u=\beta +\overline{\beta }$ とすれば

であり，$\beta$ の組も同様である。よって展開・係数比較から

(3)

円周上の非実数点について $0<t<4$，$0<u<4$ であり，4根が相異なるので $t\ne u$ である。ここで $t,u$ は

の2根である。

相異なる実根である条件は

両方が正である条件は $p>0,s>0$ である。また

これと $p=t+u<8$ を合わせれば，$t,u$ が両方4より大きい可能性は除かれ，両方とも4より小さい。逆にこれらの不等式を満たせば，2根は相異なり $0<t,u<4$ となる。

したがって必要十分条件は

すなわち

であり，境界はいずれも含まない。図示すると標準解法の図の開領域になる。