名古屋大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第1問

(1) $\alpha$ は点1を中心とする半径1の円周上にあるので $\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }=1$ である。両辺を2乗すると $$(\alpha -1)(\bar{\alpha }-1)=1$$ である。展開して $$\alpha \bar{\alpha }-\alpha -\bar{\alpha }+1=1$$ となるから $$\alpha +\bar{\alpha }=\alpha \bar{\alpha }$$ である。

(2) $$t=\alpha +\bar{\alpha }$$，$$u=\beta +\bar{\beta }$$ とおく。(1)より $$\alpha \bar{\alpha }=t,\beta \bar{\beta }=u$$ である。したがって，4次方程式の左辺は$$(x-\alpha )(x-\bar{\alpha })(x-\beta )(x-\bar{\beta })=(x^2-tx+t)(x^2-ux+u)$$と表される。展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x^2-tx+t)(x^2-ux+u)}& {\displaystyle =x^4-(t+u)x^3+(tu+t+u)x^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2tux+tu}\end{array}$$である。これを $x^4-p{x}^3+q{x}^2-rx+s$ と比較して $$p=t+u,q=tu+t+u,r=2tu,s=tu$$ を得る。

(3) $\alpha$ が円 $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ 上にあり，$$\alpha \mathrm{\ne }\bar{\alpha }$$ であるから，$\alpha$ は実数ではない。円周上の点を $$\alpha =1+\cos \theta +i\sin \theta$$ と書くと，$\sin \theta \mathrm{\ne }0$ であり，$$t=\alpha +\bar{\alpha }=2+2\cos \theta$$ だから $0<t<4$ である。同様に $0<u<4$ である。また $t=u$ なら2つの2次式 $x^2-tx+t$，$x^2-ux+u$ が一致し，4つの解が相異なることに反する。したがって $t\mathrm{\ne }u$ である。 $p=t+u,s=tu$ より，まず $0<p<8,s>0$ である。また相加相乗平均より $$s=tu\leqq {\left(\frac{t+u}{2}\right)}^2=\frac{p^2}{4}$$ であるが，$t\mathrm{\ne }u$ なので等号は成り立たず $$s<\frac{p^2}{4}$$ である。

さらに $t<4$，$u<4$ より $(4-t)(4-u)>0$ である。これを $p,s$ で表すと $16-4(t+u)+tu>0$ すなわち $s>4p-16$ である。

以上より，点 $(p,s)$ のとりうる範囲は $$0<p<8,\max (0,4p-16)<s<\frac{p^2}{4}$$ である。したがって座標平面では，放物線 $s=p^2\mathrm{/}4$ の下側，かつ $s=0$ と $s=4p-16$ の上側にある開領域を図示すればよい。境界はすべて含まない。

$t,u$ は $z^2-pz+s=0$ の2根であると逆に見る。『相異なる2根がともに $(0,4)$ にある』ための判別式・和・積・$z=4$ での符号条件を $(p,s)$ の不等式に直し，必要十分性を確認する。

(1)
$\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }=1$ を2乗すると$$(\alpha -1)(\bar{\alpha }-1)=1,$$したがって$$\alpha +\bar{\alpha }=\alpha \bar{\alpha }\mathrm{.}$$(2)$$t=\alpha +\bar{\alpha }$$，$u=\beta +\bar{\beta }$ とすれば$$(x-\alpha )(x-\bar{\alpha })=x^2-tx+t$$であり，$\beta$ の組も同様である。よって展開・係数比較から$$p=t+u,q=tu+t+u,r=2tu,s=tu\mathrm{.}$$(3)
円周上の非実数点について $0<t<4$，$0<u<4$ であり，4根が相異なるので $t\mathrm{\ne }u$ である。ここで $t,u$ は$$z^2-pz+s=0$$の2根である。

相異なる実根である条件は$$p^2-4s>0,$$両方が正である条件は $p>0,s>0$ である。また$$(4-t)(4-u)=16-4p+s>0.$$これと $p=t+u<8$ を合わせれば，$t,u$ が両方4より大きい可能性は除かれ，両方とも4より小さい。逆にこれらの不等式を満たせば，2根は相異なり $0<t,u<4$ となる。

したがって必要十分条件は$$0<p<8,s>0,s>4p-16,s<\frac{p^2}{4}\mathrm{.}$$すなわち$$\max (0,4p-16)<s<\frac{p^2}{4}(0<p<8)$$であり，境界はいずれも含まない。図示すると標準解法の図の開領域になる。