名古屋大学 2023年度理系数学第2問解答・解説

問題

$0 < b < a$ とする。 $x y$ 平面において，原点を中心とする半径 $r$ の円 $C$ と点 $(a, 0)$ を中心とする半径 $b$ の円 $D$ が2点で交わっている。

(1) 半径 $r$ の満たすべき条件を求めよ。

(2) $C$ と $D$ の交点のうち $y$ 座標が正のものを $P$ とする。 $P$ の $x$ 座標 $h (r)$ を求めよ。

(3) 点 $Q (r, 0)$ と点 $R (a - b, 0)$ をとる。 $D$ の内部にある $C$ の弧 $P Q$ ，線分 $QR$ ，および線分 $R P$ で囲まれる図形を $A$ とする。 $x y z$ 空間において $A$ を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積 $V (r)$ を求めよ。ただし，答えに $h (r)$ を用いてもよい。

(4) $V (r)$ の最大値を与える $r$ を求めよ。また，その $r$ を $r (a)$ とおいたとき， $a \to \infty lim (r (a) - a)$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2023年度前期日程一般選抜理系第2問

方針

解法1（標準解法）

2円が2点で交わる条件は中心間距離と半径の和・差で決まる。交点の $x$ 座標は2つの円の方程式を引いて求める。体積は， $x = a - b$ から $x = h$ までは線分 $R P$ の回転， $x = h$ から $x = r$ までは円 $C$ の弧の回転として分けて積分する。最大化は，得られた $V (r)$ に $h (r)$ を代入して因数分解し， $a - b < r < a + b$ で微分係数の符号を読む。

別解（円錐と球冠の体積）

領域の回転体を，線分 $R P$ が作る円錐と，弧 $P Q$ が作る球冠に分ける。これにより(3)の積分を既知の体積公式で短く処理する。(4) は得られた因数分解式を微分し，定義域内で符号を決める。

解答

解法1（標準解法）

(1)

2つの円の中心間距離は $a$ であり，半径は $r$ と $b$ である。2点で交わるためには，一方が他方の内部に接したり，外接したりせず，中心間距離が半径の差より大きく和より小さければよい。 $0 < b < a$ なので条件は $a - b < r < a + b$ である。

(2)

交点 $(x, y)$ は $x^{2} + y^{2} = r^{2}, (x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}$ を満たす。2式の差をとると $(x - a)^{2} - x^{2} = b^{2} - r^{2}$ であり， $- 2 a x + a^{2} = b^{2} - r^{2}$ となる。よって交点の $x$ 座標は $h (r) = \frac{a ^{2} + r ^{2} - b ^{2}}{2 a}$ である。

(3)

以下 $h = h (r)$ と書く。 $P$ は円 $C$ 上の点なので $P = (h, r^{2} - h^{2})$ である。また $Q = (r, 0), R = (a - b, 0)$ である。領域 $A$ を $x$ 軸のまわりに回転するので，断面半径の2乗を積分すればよい。

まず $a - b ≦ x ≦ h$ では，上側の境界は線分 $R P$ である。直線 $R P$ は $(a - b, 0)$ と $(h, r^{2} - h^{2})$ を通るから $y = \frac{r ^{2} - h ^{2}}{h - a + b} (x - a + b)$ である。したがってこの部分の回転体積は $π \int_{a - b}^{h} \frac{r ^{2} - h ^{2}}{( h - a + b ) ^{2}} (x - a + b)^{2} d x$ である。

次に $h ≦ x ≦ r$ では，上側の境界は円 $C$ の弧であり $y = r^{2} - x^{2}$ である。したがってこの部分の回転体積は $π \int_{h}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x$ である。よって

V (r) = π \int_{a - b}^{h} \frac{r ^{2} - h ^{2}}{( h - a + b ) ^{2}} (x - a + b)^{2} d x + π \int_{h}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x

である。

第1項は

π \frac{r ^{2} - h ^{2}}{( h - a + b ) ^{2}} [\frac{( x - a + b ) ^{3}}{3}]_{a - b}^{h} = \frac{π}{3} (r^{2} - h^{2}) (h - a + b)

であり，第2項は $π [r^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{h}^{r} = \frac{π}{3} (2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3})$ である。したがって $V (r) = \frac{π}{3} {(r^{2} - h^{2}) (h - a + b) + 2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}}$ である。

(4)

(3)の式に $h = \frac{a ^{2} + r ^{2} - b ^{2}}{2 a}$ を代入して整理すると $V (r) = \frac{π ( a + b - r ) ( r - a + b ) ^{2} ( a ^{2} + 3 a r - b ^{2} + b r )}{12 a ^{2}}$ である。 $a - b < r < a + b$ で考える。

微分すると $V^{'} (r) = \frac{π r ( r - a + b )}{3 a ^{2}} {3 a^{2} + 2 ab + b^{2} - (3 a + b) r}$ である。範囲内では $r > 0, r - a + b > 0$ なので， $V^{'} (r)$ の符号は $3 a^{2} + 2 ab + b^{2} - (3 a + b) r$ で決まる。したがって $r = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}$ を境に， $V (r)$ は増加から減少に変わる。

この値が範囲内にあることを確認する。まず $\frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b} - (a - b) = \frac{2 b ( a + b )}{3 a + b} > 0$ であり，また $a + b - \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b} = \frac{2 ab}{3 a + b} > 0$ である。よってこの $r$ は確かに $a - b < r < a + b$ にあり，最大値を与える。

したがって $r (a) = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}$ である。このとき $r (a) - a = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2} - a ( 3 a + b )}{3 a + b} = \frac{b ( a + b )}{3 a + b}$ であるから $lim_{a \to \infty} (r (a) - a) = \frac{b}{3}$ である。

別解（円錐と球冠の体積）

(1)

中心間距離が $a$ ，半径が $r, b$ なので，2点で交わる条件は

∣ r - b ∣ < a < r + b .

$0 < b < a$ を用いて整理すると

a - b < r < a + b .

(2)

2円の方程式を引けば

- 2 a x + a^{2} = b^{2} - r^{2},

よって

h (r) = \frac{a ^{2} + r ^{2} - b ^{2}}{2 a} .

(3)

$h = h (r)$ ， $y_{P} = r^{2} - h^{2}$ とおく。 $a - b ≦ x ≦ h$ の部分を回転すると，頂点 $R$ ，底面半径 $y_{P}$ ，高さ $h - a + b$ の円錐になる。その体積は

V_{1} = \frac{π}{3} (r^{2} - h^{2}) (h - a + b) .

$h ≦ x ≦ r$ の部分は，半径 $r$ ，高さ $r - h$ の球冠である。球冠の体積公式 $π H^{2} (3 r - H) /3$ に $H = r - h$ を代入して

V_{2} = \frac{π}{3} (r - h)^{2} (2 r + h) = \frac{π}{3} (2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}) .

したがって

V (r) = \frac{π}{3} {(r^{2} - h^{2}) (h - a + b) + 2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}} .

(4)

$h = (a^{2} + r^{2} - b^{2}) / (2 a)$ を代入して整理すると

V (r) = \frac{π ( a + b - r ) ( r - a + b ) ^{2} ( a ^{2} + 3 a r - b ^{2} + b r )}{12 a ^{2}} .

微分すると

V^{'} (r) = \frac{π r ( r - a + b )}{3 a ^{2}} {3 a^{2} + 2 ab + b^{2} - (3 a + b) r} .

定義域では前二因子が正なので，増加から減少へ変わるのは

r (a) = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}

である。この値と両端との差は

r (a) - (a - b) = \frac{2 b ( a + b )}{3 a + b} > 0, a + b - r (a) = \frac{2 ab}{3 a + b} > 0

だから，確かに定義域内で最大を与える。最後に

r (a) - a = \frac{b ( a + b )}{3 a + b} ⟶ \frac{b}{3} (a \to \infty) .

名古屋大学 2023年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（円錐と球冠の体積）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

(4)

別解（円錐と球冠の体積）

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2023年度
理系数学第2問