名古屋大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第2問

(1)
2つの円の中心間距離は $a$ であり，半径は $r$ と $b$ である。2点で交わるためには，一方が他方の内部に接したり，外接したりせず，中心間距離が半径の差より大きく和より小さければよい。$0<b<a$ なので条件は $a-b<r<a+b$ である。

(2)
交点 $(x,y)$ は $$x^2+y^2=r^2,(x-a{)}^2+y^2=b^2$$ を満たす。2式の差をとると $(x-a{)}^2-x^2=b^2-r^2$ であり，$-2ax+a^2=b^2-r^2$ となる。よって交点の $x$ 座標は $$h(r)=\frac{a^2+r^2-b^2}{2a}$$ である。

(3)
以下 $h=h(r)$ と書く。$P$ は円 $C$ 上の点なので $$P=(h,\sqrt{r^2-h^2})$$ である。また $$Q=(r,0),R=(a-b,0)$$ である。領域 $A$ を $x$ 軸のまわりに回転するので，断面半径の2乗を積分すればよい。

まず $a-b\leqq x\leqq h$ では，上側の境界は線分 $RP$ である。直線 $RP$ は $(a-b,0)$ と $(h,\sqrt{r^2-h^2})$ を通るから $$y=\frac{\sqrt{r^2-h^2}}{h-a+b}(x-a+b)$$ である。したがってこの部分の回転体積は $\pi {\int }_{a-b}^h\frac{r^2-h^2}{(h-a+b{)}^2}(x-a+b{)}^{2}dx$ である。

次に $h\leqq x\leqq r$ では，上側の境界は円 $C$ の弧であり $$y=\sqrt{r^2-x^2}$$ である。したがってこの部分の回転体積は $\pi {\int }_h^r(r^2-x^2)dx$ である。よって$$V(r)=\pi {\int }_{a-b}^h\frac{r^2-h^2}{(h-a+b{)}^2}(x-a+b{)}^{2}dx+\pi {\int }_h^r(r^2-x^2)dx$$である。

第1項は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \pi \frac{r^2-h^2}{(h-a+b{)}^2}{\left[\frac{(x-a+b{)}^3}{3}\right]}_{a-b}^h}& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}(r^2-h^2)(h-a+b)}\end{array}$$であり，第2項は $$\pi {[r^{2}x-\frac{x^3}{3}]}_h^r=\frac{\pi }{3}(2r^3-3r^{2}h+h^3)$$ である。したがって $$V(r)=\frac{\pi }{3}\{(r^2-h^2)(h-a+b)+2r^3-3r^{2}h+h^3\}$$ である。

(4)
(3)の式に $$h=\frac{a^2+r^2-b^2}{2a}$$ を代入して整理すると $$V(r)=\frac{\pi (a+b-r)(r-a+b{)}^2(a^2+3ar-b^2+br)}{12a^2}$$ である。$a-b<r<a+b$ で考える。

微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}(r)=\frac{\pi r(r-a+b)}{3a^2}\{3a^2+2ab+b^2-(3a+b)r\}$$ である。範囲内では $r>0,r-a+b>0$ なので，$V^{\mathrm{\prime }}(r)$ の符号は $3a^2+2ab+b^2-(3a+b)r$ で決まる。したがって $$r=\frac{3a^2+2ab+b^2}{3a+b}$$ を境に，$V(r)$ は増加から減少に変わる。

この値が範囲内にあることを確認する。まず $$\frac{3a^2+2ab+b^2}{3a+b}-(a-b)=\frac{2b(a+b)}{3a+b}>0$$ であり，また $$a+b-\frac{3a^2+2ab+b^2}{3a+b}=\frac{2ab}{3a+b}>0$$ である。よってこの $r$ は確かに $a-b<r<a+b$ にあり，最大値を与える。

したがって $$r(a)=\frac{3a^2+2ab+b^2}{3a+b}$$ である。このとき $$r(a)-a=\frac{3a^2+2ab+b^2-a(3a+b)}{3a+b}=\frac{b(a+b)}{3a+b}$$ であるから $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(r(a)-a)=\frac{b}{3}$$ である。

領域の回転体を，線分 $RP$ が作る円錐と，弧 $PQ$ が作る球冠に分ける。これにより(3)の積分を既知の体積公式で短く処理する。(4) は得られた因数分解式を微分し，定義域内で符号を決める。

(1)
中心間距離が $a$，半径が $r,b$ なので，2点で交わる条件は$$\mathrm{\mid }r-b\mathrm{\mid }<a<r+b\mathrm{.}$$$0<b<a$ を用いて整理すると$$a-b<r<a+b\mathrm{.}$$(2)
2円の方程式を引けば$$-2ax+a^2=b^2-r^2,$$よって$$h(r)=\frac{a^2+r^2-b^2}{2a}\mathrm{.}$$(3)
$h=h(r)$，$$y_P=\sqrt{r^2-h^2}$$ とおく。$a-b\leqq x\leqq h$ の部分を回転すると，頂点 $R$，底面半径 $y_P$，高さ $h-a+b$ の円錐になる。その体積は$$V_1=\frac{\pi }{3}(r^2-h^2)(h-a+b)\mathrm{.}$$$h\leqq x\leqq r$ の部分は，半径 $r$，高さ $r-h$ の球冠である。球冠の体積公式 $\pi H^2(3r-H)\mathrm{/}3$ に $H=r-h$ を代入して$$V_2=\frac{\pi }{3}(r-h{)}^2(2r+h)=\frac{\pi }{3}(2r^3-3r^{2}h+h^3)\mathrm{.}$$したがって$$V(r)=\frac{\pi }{3}\{(r^2-h^2)(h-a+b)+2r^3-3r^{2}h+h^3\}\mathrm{.}$$(4)
$h=(a^2+r^2-b^2)\mathrm{/}(2a)$ を代入して整理すると$$V(r)=\frac{\pi (a+b-r)(r-a+b{)}^2(a^2+3ar-b^2+br)}{12a^2}\mathrm{.}$$微分すると$$V^{\mathrm{\prime }}(r)=\frac{\pi r(r-a+b)}{3a^2}\{3a^2+2ab+b^2-(3a+b)r\}\mathrm{.}$$定義域では前二因子が正なので，増加から減少へ変わるのは$$r(a)=\frac{3a^2+2ab+b^2}{3a+b}$$である。この値と両端との差は$$r(a)-(a-b)=\frac{2b(a+b)}{3a+b}>0,a+b-r(a)=\frac{2ab}{3a+b}>0$$だから，確かに定義域内で最大を与える。最後に$$r(a)-a=\frac{b(a+b)}{3a+b}⟶\frac{b}{3}(a\to \mathrm{\infty })\mathrm{.}$$