名古屋大学 2023年度
理系数学 第3問

解答

解法1（標準解法）

(1)

負の実数解を調べるので，$x=-t$，$t>0$ とおく。方程式は $e^{-t}=\frac{2(-t{)}^3}{-t-1}=\frac{2t^3}{t+1}$ となる。

左辺 $e^{-t}$ は $t>0$ で単調減少である。一方，右辺 $B(t)=\frac{2t^3}{t+1}$ は $B^{\prime }(t)=\frac{2t^2(2t+3)}{(t+1{)}^2}>0$ より単調増加である。また ${\lim }_{t\to +0}{e}^{-t}=1,{\lim }_{t\to +0}\frac{2t^3}{t+1}=0$ であり，$t=1$ では $e^{-1}<1=\frac{2}{2}$ である。したがって2つのグラフは $t>0$ でただ1回交わる。よって元の方程式の負の実数解の個数は $1$ である。

(2)

$x<0$ において $e^x=x(x^2-3)$ は，両辺を $x$ で割って $3=x^2-\frac{e^x}{x}$ と同値である。そこで $A(x)=x^2-\frac{e^x}{x}(x<0)$ とおく。

微分すると $A^{\prime }(x)=2x-\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ である。$A^{\prime }(x)=0$ は $2x=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ すなわち $e^x=\frac{2x^3}{x-1}$ と同値である。(1)より，$A^{\prime }(x)=0$ となる $x<0$ はただ1つである。

さらに ${\lim }_{x\to -\infty }A(x)=\infty ,{\lim }_{x\to -0}A(x)=\infty$ である。また $x\to -\infty$ では $A^{\prime }(x)\sim 2x<0$，$x\to -0$ では $A^{\prime }(x)>0$ となる。したがって $A(x)$ は $x<0$ でただ1つの最小値をもつ。

ここで $A(-1)=1+e^{-1}<3$ である。$A(x)$ は両端で $\infty$ に発散し，途中で3より小さい値をとるので，水平線 $y=3$ とは2点で交わる。よって $y=x(x^2-3)$ と $y=e^x$ の $x<0$ における共有点の個数は $2$ である。

(3)

$x<0$ において $e^x=x(x^2-a)$ は $a=x^2-\frac{e^x}{x}=A(x)$ と同値である。したがって，共有点の個数は，曲線 $y=A(x)$ と水平線 $y=a$ の交点数に等しい。

(2)で示したように，$A(x)$ は $x<0$ でただ1つの最小値をもつ。また $x<0$ では $x^2>0,-\frac{e^x}{x}>0$ なので $A(x)>0$ である。したがって最小値を $a_0$ とおくと $a_0>0$ である。 $a=a_0$ のとき，水平線 $y=a$ は $y=A(x)$ に最小点で接するので，共有点は1個だけである。$a>a_0$ では両端が $\infty$ であることから共有点は2個，$0<a<a_0$ では共有点はない。よって，条件を満たす正の実数 $a$ はただ1つ存在する。

別解（正の変数への置換と狭義凸性）

(1)

$x=-t(t>0)$ とおくと方程式は

左辺は狭義減少，右辺は

より狭義増加である。$t\to +0$ では左辺が大きく，$t=1$ では右辺が大きいので，解はちょうど1個である。

(2)

$x=-t$ とすると

微分すると

したがって $F$ は $t>0$ で狭義凸である。また

よって $F$ はただ1つの点で最小値 $a_0$ をとる。

$F(1)=1+e^{-1}<3$ だから，水平線 $a=3$ は最小値より上にあり，狭義凸なグラフと2点で交わる。したがって(2)の共有点は2個である。

(3)

さらに $F(t)>0$ より $a_0>0$ である。水平線 $a=a_0$ のときだけ接点1個，$a>a_0$ なら2個，$0<a<a_0$ なら0個である。よって条件を満たす正の実数 $a$ は $a_0$ ただ1つである。