名古屋大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第3問

(1)
負の実数解を調べるので，$x=-t$，$t>0$ とおく。方程式は $$e^{-t}=\frac{2(-t{)}^3}{-t-1}=\frac{2t^3}{t+1}$$ となる。

左辺 $e^{-t}$ は $t>0$ で単調減少である。一方，右辺 $$B(t)=\frac{2t^3}{t+1}$$ は $$B^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{2t^2(2t+3)}{(t+1{)}^2}>0$$ より単調増加である。また $$\underset{t\to +0}{\lim }{e}^{-t}=1,\underset{t\to +0}{\lim }\frac{2t^3}{t+1}=0$$ であり，$t=1$ では $$e^{-1}<1=\frac{2}{2}$$ である。したがって2つのグラフは $t>0$ でただ1回交わる。よって元の方程式の負の実数解の個数は $1$ である。

(2) $x<0$ において $e^x=x(x^2-3)$ は，両辺を $x$ で割って $$3=x^2-\frac{e^x}{x}$$ と同値である。そこで $$A(x)=x^2-\frac{e^x}{x}(x<0)$$ とおく。

微分すると $$A^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$ である。$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $$2x=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$ すなわち $$e^x=\frac{2x^3}{x-1}$$ と同値である。(1)より，$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる $x<0$ はただ1つである。

さらに $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }A(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to -0}{\lim }A(x)=\mathrm{\infty }$$ である。また $x\to -\mathrm{\infty }$ では $A^{\mathrm{\prime }}(x)\sim 2x<0$，$x\to -0$ では $A^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となる。したがって $A(x)$ は $x<0$ でただ1つの最小値をもつ。

ここで $A(-1)=1+e^{-1}<3$ である。$A(x)$ は両端で $\mathrm{\infty }$ に発散し，途中で3より小さい値をとるので，水平線 $y=3$ とは2点で交わる。よって $y=x(x^2-3)$ と $y=e^x$ の $x<0$ における共有点の個数は $2$ である。

(3) $x<0$ において $e^x=x(x^2-a)$ は $$a=x^2-\frac{e^x}{x}=A(x)$$ と同値である。したがって，共有点の個数は，曲線 $y=A(x)$ と水平線 $y=a$ の交点数に等しい。

(2) で示したように，$A(x)$ は $x<0$ でただ1つの最小値をもつ。また $x<0$ では $$x^2>0,-\frac{e^x}{x}>0$$ なので $A(x)>0$ である。したがって最小値を $a_0$ とおくと $a_0>0$ である。 $a=a_0$ のとき，水平線 $y=a$ は $y=A(x)$ に最小点で接するので，共有点は1個だけである。$a>a_0$ では両端が $\mathrm{\infty }$ であることから共有点は2個，$0<a<a_0$ では共有点はない。よって，条件を満たす正の実数 $a$ はただ1つ存在する。

$t=-x>0$ と置く。(2)(3) の共有点条件は $a=F(t)=t^2+e^{-t}\mathrm{/}t$ となる。$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)>0$ を直接示せば，$F$ は狭義凸で両端が無限大だから最小点はただ1つであり，水平線との交点数を即座に判定できる。

(1)
$x=-t(t>0)$ とおくと方程式は$$e^{-t}=\frac{2t^3}{t+1}\mathrm{.}$$左辺は狭義減少，右辺は$${\left(\frac{2t^3}{t+1}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2t^2(2t+3)}{(t+1{)}^2}>0$$より狭義増加である。$t\to +0$ では左辺が大きく，$t=1$ では右辺が大きいので，解はちょうど1個である。

(2)
$x=-t$ とすると$$e^x=x(x^2-a)⟺a=F(t):=t^2+\frac{e^{-t}}{t},t>0.$$微分すると$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=2+e^{-t}(\frac{1}{t}+\frac{2}{t^2}+\frac{2}{t^3})>0.$$したがって $F$ は $t>0$ で狭義凸である。また$$\underset{t\to +0}{\lim }F(t)=\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$よって $F$ はただ1つの点で最小値 $a_0$ をとる。

$F(1)=1+e^{-1}<3$ だから，水平線 $a=3$ は最小値より上にあり，狭義凸なグラフと2点で交わる。したがって(2)の共有点は2個である。

(3)
さらに $F(t)>0$ より $a_0>0$ である。水平線 $a=a_0$ のときだけ接点1個，$a>a_0$ なら2個，$0<a<a_0$ なら0個である。よって条件を満たす正の実数 $a$ は $a_0$ ただ1つである。