名古屋大学 2026年度理系数学第1問解答・解説

問題

点 $O$ を原点とする $x y$ 平面において，曲線 $y = \frac{1}{x}$ の第1象限にある部分を $C$ とし， $C$ 上の2点 $A (a, \frac{1}{a})$ ， $B (b, \frac{1}{b})$ 　(ただし $0 < a < 1, a < b)$ を考える。 $θ = ∠ B O A$ とおき，2直線 $O A, O B$ と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $S$ を $a, b$ を用いて表せ。

(2) $θ = \frac{π}{4}$ であるとき， $b$ を $a$ を用いて表せ。

(3) 2点 $A, B$ が $C$ 上を $θ = \frac{π}{4}$ をみたしながら動くとき， $S$ の最小値を与える $a$ の値を求めよ。

出典：名古屋大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)では直線 $O A : y = x / a^{2}$ ， $O B : y = x / b^{2}$ と曲線 $y = 1/ x$ の上下関係を調べ， $x = a$ で積分区間を分ける。これにより面積は通常の定積分だけで求まる。(2)は2直線の傾きからなす角の公式を用い， $tan θ = 1$ を $b^{2}$ について解く。(3)は $x = a^{2}$ と置き，対数の単調性を使って $(x + 1) / {x (1 - x)}$ の最小化へ帰着し，微分で決定する。

解答

(1)

直線 $O A, O B$ の方程式はそれぞれ

y = \frac{x}{a ^{2}}, y = \frac{x}{b ^{2}}

である。 $0 < a < b$ より $1/ a^{2} > 1/ b^{2}$ である。また， $0 ≦ x ≦ a$ では2直線の間が領域に入り， $a ≦ x ≦ b$ では曲線 $y = 1/ x$ と直線 $O B$ の間が領域に入る。したがって

S = \int_{0}^{a} (\frac{x}{a ^{2}} - \frac{x}{b ^{2}}) d x + \int_{a}^{b} (\frac{1}{x} - \frac{x}{b ^{2}}) d x = (\frac{1}{2} - \frac{a ^{2}}{2 b ^{2}}) + (lo g \frac{b}{a} - \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 b ^{2}}) = lo g \frac{b}{a} .

よって $S = lo g \frac{b}{a}$ である。

(2)

直線 $O A$ の傾きは $\frac{1/ a}{a} = \frac{1}{a ^{2}}$ であり，直線 $O B$ の傾きは $\frac{1/ b}{b} = \frac{1}{b ^{2}}$ である。 $a < b$ なので $\frac{1}{a ^{2}} > \frac{1}{b ^{2}}$ である。2直線のなす角 $θ$ について

tan θ = \frac{\frac{1}{a ^{2}} - \frac{1}{b ^{2}}}{1 + \frac{1}{a ^{2} b ^{2}}} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} b ^{2} + 1}

である。 $θ = π /4$ なので $tan θ = 1$ である。よって $b^{2} - a^{2} = a^{2} b^{2} + 1$ となる。これを $b^{2}$ について解くと $b^{2} (1 - a^{2}) = a^{2} + 1$ である。 $0 < a < 1$ より $1 - a^{2} > 0$ だから $b^{2} = \frac{a ^{2} + 1}{1 - a ^{2}}$ である。 $b > 0$ より $b = \frac{a ^{2} + 1}{1 - a ^{2}}$ である。

(3)

(2)の条件のもとで $S = lo g \frac{b}{a}$ である。 $x = a^{2}$ とおくと， $0 < a < 1$ より $0 < x < 1$ である。また $\frac{b ^{2}}{a ^{2}} = \frac{x + 1}{x ( 1 - x )}$ だから $S = \frac{1}{2} lo g \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{x + 1}{x ( 1 - x )}$ である。対数関数は単調増加なので， $h (x) = \frac{x + 1}{x ( 1 - x )}$ を最小にすればよい。

微分すると

h^{'} (x) = \frac{x ( 1 - x ) - ( x + 1 ) ( 1 - 2 x )}{x ^{2} ( 1 - x ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x - 1}{x ^{2} ( 1 - x ) ^{2}}

である。分母は $0 < x < 1$ で正なので，符号は $x^{2} + 2 x - 1$ で決まる。この2次式の $0 < x < 1$ にある根は $x = - 1 + 2 = 2 - 1$ である。したがって $h^{'} (x) < 0$ から $h^{'} (x) > 0$ に変わるので， $h (x)$ は $x = 2 - 1$ で最小となる。

ゆえに $a^{2} = 2 - 1$ であり， $a > 0$ だから， $S$ の最小値を与える $a$ は $a = 2 - 1$ である。

名古屋大学 2026年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2026年度
理系数学第1問