名古屋大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
直線 $OA,OB$ の方程式はそれぞれ$$y=\frac{x}{a^2},y=\frac{x}{b^2}$$である。$0<a<b$ より $1\mathrm{/}{a}^2>1\mathrm{/}{b}^2$ である。また，$0\leqq x\leqq a$ では2直線の間が領域に入り，$a\leqq x\leqq b$ では曲線 $y=1\mathrm{/}x$ と直線 $OB$ の間が領域に入る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^a(\frac{x}{a^2}-\frac{x}{b^2})dx+{\int }_a^b(\frac{1}{x}-\frac{x}{b^2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{1}{2}-\frac{a^2}{2b^2})+(\log \frac{b}{a}-\frac{b^2-a^2}{2b^2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log \frac{b}{a}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$S=\log {\displaystyle \frac{b}{a}}$$ である。

(2)
直線 $OA$ の傾きは $$\frac{1\mathrm{/}a}{a}=\frac{1}{a^2}$$ であり，直線 $OB$ の傾きは $$\frac{1\mathrm{/}b}{b}=\frac{1}{b^2}$$ である。$a<b$ なので $$\frac{1}{a^2}>\frac{1}{b^2}$$ である。2直線のなす角 $\theta$ について$$\tan \theta =\frac{{\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{1}{b^2}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{a^2{b}^2}}}=\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2+1}$$である。 $\theta =\pi \mathrm{/}4$ なので $\tan \theta =1$ である。よって $b^2-a^2=a^2{b}^2+1$ となる。これを $b^2$ について解くと $b^2(1-a^2)=a^2+1$ である。$0<a<1$ より $1-a^2>0$ だから $$b^2=\frac{a^2+1}{1-a^2}$$ である。$b>0$ より $$b=\sqrt{\frac{a^2+1}{1-a^2}}$$ である。

(3)
(2)の条件のもとで $$S=\log \frac{b}{a}$$ である。$x=a^2$ とおくと，$0<a<1$ より $0<x<1$ である。また $$\frac{b^2}{a^2}=\frac{x+1}{x(1-x)}$$ だから $$S=\frac{1}{2}\log \frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}\log \frac{x+1}{x(1-x)}$$ である。対数関数は単調増加なので，$$h(x)=\frac{x+1}{x(1-x)}$$ を最小にすればよい。

微分すると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x(1-x)-(x+1)(1-2x)}{x^2(1-x{)}^2}=\frac{x^2+2x-1}{x^2(1-x{)}^2}$$である。分母は $0<x<1$ で正なので，符号は $x^2+2x-1$ で決まる。この2次式の $0<x<1$ にある根は $x=-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$ である。したがって $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ から $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ に変わるので，$h(x)$ は $x=\sqrt{2}-1$ で最小となる。

ゆえに $a^2=\sqrt{2}-1$ であり，$a>0$ だから，$S$ の最小値を与える $a$ は $$a=\sqrt{\sqrt{2}-1}$$ である。