Evolton
方針
平面 は を通るので， と の両方に垂直な法線ベクトルを作る。直線 は とパラメータ表示し，この点が平面 上にある条件を の一次方程式にする。(1)はその方程式が解を持つかどうか，(2)は交点のパラメータが線分に対応する に入るかどうかを調べる。
解答
(1)
まず である。これらに垂直なベクトルとして をとる。実際， であり， である。したがって は平面 の法線ベクトルである。
直線 上の点を とおく。ここで だから である。点 が平面 上にある条件は である。 より であり，内積を計算すると である。整理して を得る。
この一次方程式が解を持つかを調べる。 のときは についてただ1つの解を持つので，平面 と直線 は共有点を持つ。 のときは左辺の の係数が0になり，定数項は で0ではないため，解を持たない。
したがって求める条件は である。
(2)
(1)で得た方程式から， のとき交点に対応する は である。直線上の点 が線分 上にあるための条件は である。
まず を考える。 であるから，分子と分母が同符号である必要がある。境界は と なので， である。
次に を調べる。 のときは であるから， の両辺に を掛けると不等号が反転して となる。すなわち であり， である。よってこの場合は となる。
一方， のときは であるから， が必要になる。しかしこれは となり， と両立しない。
したがって，平面 が線分 と共有点を持つための条件は である。
総評
難度4，計算量4。想定時間は10分程度。平面の法線ベクトル と，直線のパラメータ表示 を組み合わせる標準問題である。代入後の式 では， のとき係数だけでなく定数項も確認し，共有点なしと判定する必要がある。(2)は線分条件 を分母の符号に注意して解き， を得る。端点を含むことも明記したい。別解として，平面を表す一次式の での値 の積が0以下であることから，線分との交わりを直接判定できる。計算の短い得点源である。