名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,1,-1),\overrightarrow{AC}=C-A=(1,-1,-2)$$である。したがって $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=1^2+1^2+(-1{)}^2=3$$， $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}=1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2=6$$ $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\cdot 1+1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)=2$$である。よって$${\overrightarrow{AB}}^2=3,{\overrightarrow{AC}}^2=6,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$$である。

(2) $$\overrightarrow{AQ}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$$ とおく。$Q$は原点$O$から平面$H$に下ろした垂線の足なので，$\overrightarrow{OQ}$は平面$H$上の方向ベクトル$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$に垂直である。すなわち$$\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AC}=0$$である。

ここで$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$$であり，$$\overrightarrow{OA}=A=(3,1,3)$$ だから$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=3+1-3=1,\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AC}=3-1-6=-4$$である。(1)の内積も用いると，垂直条件は $$1+3u+2v=0,-4+2u+6v=0$$ となる。これを解いて $u=-1,v=1$ を得る。したがって $$\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$ である。

(3)
領域$K$上の点$P$を$$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}(s,t\geqq 0)$$と表す。(2)より，係数で見ると$Q$は $(-1,1)$ に対応し，$P$は $(s,t)$ に対応する。

線分$QP$上の点は，$0\leqq \lambda \leqq 1$を用いて $(1-\lambda )(-1,1)+\lambda (s,t)$ と表せる。$\overrightarrow{AB}$の係数を0にしたいので $$-(1-\lambda )+\lambda s=0$$ を満たす$\lambda$を取る。これは $\lambda =\frac{1}{s+1}$ であり，$s\geqq 0$だから$0<\lambda \leqq 1$である。

このとき$\overrightarrow{AC}$の係数は $$(1-\lambda )\cdot 1+\lambda t=\frac{s+t}{s+1}$$ であり，$s,t\geqq 0$より非負である。したがって，この点を$R$とすれば$$\overrightarrow{AR}=r\overrightarrow{AC},r=\frac{s+t}{s+1}\geqq 0$$となる。よって条件を満たす点$R$が線分$QP$上に存在する。

(4)
$OQ$は平面$H$に垂直であり，$P,Q$はともに平面$H$上にあるので，任意の$P\in K$について $O{P}^2=O{Q}^2+Q{P}^2$ である。したがって，$OP$を最小にするには$QP$を最小にすればよい。

(3) より，任意の$P\in K$に対して，線分$QP$上に$\overrightarrow{AR}=r\overrightarrow{AC}$を満たす点$R$が存在する。この$R$は$K$に含まれる。また$R$は線分$QP$上にあるので $QR\leqq QP$ である。よって $$O{R}^2=O{Q}^2+Q{R}^2\leqq O{Q}^2+Q{P}^2=O{P}^2$$ となる。したがって，最短点は半直線 $$\overrightarrow{AS}=r\overrightarrow{AC}(r\geqq 0)$$ 上で探せばよい。

$S=A+r\overrightarrow{AC}$とおくと $$S=(3,1,3)+r(1,-1,-2)=(3+r,1-r,3-2r)$$ である。原点からの距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{S}^2}& {\displaystyle =(3+r{)}^2+(1-r{)}^2+(3-2r{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6r^2-8r+19}\end{array}$$である。これは $6{(r-\frac{2}{3})}^2+\frac{49}{3}$ と平方完成できるので，$r=\frac{2}{3}$で最小となる。したがって $$S=(3,1,3)+\frac{2}{3}(1,-1,-2)=(\frac{11}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3})$$ である。

よって求める点は $S(\frac{11}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3})$ である。

係数平面で見ると，$Q$から第1象限の任意の点$P$への線分は縦の非負半直線と交わる。

$O{P}^2$を$s,t$の二次式として展開し，$s\geqq 0$による差が常に非負であることから$s=0$へ絞る。残った$t$の二次式を平方完成する。

(1)
解法1と同じである。

(2)
解法1と同じである。

(3)
解法1と同じである。

(4)
$P=A+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$とおくと，$s,t\geqq 0$であり，内積の値から$$O{P}^2=19+2s-8t+3s^2+4st+6t^2$$である。固定した$t\geqq 0$について$$O{P}^2(s,t)-O{P}^2(0,t)=s(3s+4t+2)\geqq 0$$だから，最小値は$s=0$で生じる。そのとき$$O{P}^2(0,t)=6t^2-8t+19=6{(t-\frac{2}{3})}^2+\frac{49}{3}$$である。したがって$t=2\mathrm{/}3$で最小となり，$$S=A+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=(\frac{11}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3})$$を得る。この方法は偏微分を使わず，非負条件と平方完成だけで二変数の最小値を処理している。