岡山大学 2017年度
文系数学 第1問

解答

解法1

(1)

接点の$x$座標を$t$とする。$C:y=x^3-ax$の接線の傾きは$3t^2-a$であり，接線は

である。これが点$(1,0)$を通る条件は

である。

$a=5$のとき

であり，左辺を因数分解すると

である。$2t^2-5t+5$の判別式は$25-40<0$であるから，実数解は$t=-1$だけである。このとき接点は$(-1,4)$，傾きは$-2$である。したがって求める接線は

すなわち

である。

(2)

上と同じ計算により，接点の$x$座標$t$は

を満たす。逆にこの式を満たす$t$から，点$(1,0)$を通る接線が得られる。また異なる$t$から同じ接線が生じることはない。実際，接線は

であり，$t_1,t_2$の接線が一致すれば$t_1^2=t_2^2$かつ$t_1^3=t_2^3$となるので$t_1=t_2$である。

$g(t)=-2t^3+3t^2$とおくと，

である。したがって$g(t)$は$t<0$で減少，$0<t<1$で増加，$t>1$で減少し，$g(0)=0$，$g(1)=1$である。また$t\to -\infty$で$g(t)\to \infty$，$t\to \infty$で$g(t)\to -\infty$である。

よって水平線$y=a$と$y=g(t)$が3点で交わるのは

のときである。したがって求める範囲は$0<a<1$である。

解法2

(1)

接点を$(t,t^3-at)$とすると，接線が$(1,0)$を通る条件は

である。$a=5$では

であり，後半の二次式は判別式が負なので$t=-1$のみを得る。接線の傾きは$3-5=-2$だから

である。

(2)

とおく。$h^{\prime }(t)=6t(t-1)$だから，$h$は$(-\infty ,0)$と$(1,\infty )$で増加し，$(0,1)$で減少する。また

である。

$0<a<1$なら，$h(-\infty )<0<h(0)$，$h(0)>0>h(1)$，$h(1)<0<h(\infty )$なので，3つの区間に1個ずつ実根がある。単調性より各区間に根は1個しかない。

逆に3実根をもつには極大値$h(0)$が正，極小値$h(1)$が負でなければならないから，$a>0$かつ$a-1<0$である。したがって

である。異なる接点は異なる接線を与えるので，これが求める範囲である。