岡山大学 2017年度 前期文系数学 第1問

(1)
接点の$x$座標を$t$とする。$C:y=x^3-ax$の接線の傾きは$3t^2-a$であり，接線は$$y=(3t^2-a)(x-t)+t^3-at$$である。これが点$(1,0)$を通る条件は$$0=(3t^2-a)(1-t)+t^3-at=-2t^3+3t^2-a$$である。

$a=5$のとき$$2t^3-3t^2+5=0$$であり，左辺を因数分解すると$$2t^3-3t^2+5=(t+1)(2t^2-5t+5)=0$$である。$2t^2-5t+5$の判別式は$25-40<0$であるから，実数解は$t=-1$だけである。このとき接点は$(-1,4)$，傾きは$-2$である。したがって求める接線は$$y-4=-2(x+1)$$すなわち$$y=-2x+2$$である。

(2)
上と同じ計算により，接点の$x$座標$t$は$$a=-2t^3+3t^2$$を満たす。逆にこの式を満たす$t$から，点$(1,0)$を通る接線が得られる。また異なる$t$から同じ接線が生じることはない。実際，接線は$$y=(3t^2-a)x-2t^3$$であり，$t_1,t_2$の接線が一致すれば$t_1^2=t_2^2$かつ$t_1^3=t_2^3$となるので$t_1=t_2$である。

$g(t)=-2t^3+3t^2$とおくと，$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=-6t^2+6t=6t(1-t)$$である。したがって$g(t)$は$t<0$で減少，$0<t<1$で増加，$t>1$で減少し，$g(0)=0$，$g(1)=1$である。また$t\to -\mathrm{\infty }$で$g(t)\to \mathrm{\infty }$，$t\to \mathrm{\infty }$で$g(t)\to -\mathrm{\infty }$である。

よって水平線$y=a$と$y=g(t)$が3点で交わるのは$$0<a<1$$のときである。したがって求める範囲は$0<a<1$である。

接点条件を三次方程式にする。(2)では三次式の値を$(-\mathrm{\infty },0),(0,1),(1,\mathrm{\infty })$の3区間で調べ，中間値の定理と単調性から3実根の条件を判定する。

(1)
接点を$(t,t^3-at)$とすると，接線が$(1,0)$を通る条件は$$2t^3-3t^2+a=0$$である。$a=5$では$$2t^3-3t^2+5=(t+1)(2t^2-5t+5)$$であり，後半の二次式は判別式が負なので$t=-1$のみを得る。接線の傾きは$3-5=-2$だから$$y=-2x+2$$である。

(2) $$h(t)=2t^3-3t^2+a$$とおく。$h^{\mathrm{\prime }}(t)=6t(t-1)$だから，$h$は$(-\mathrm{\infty },0)$と$(1,\mathrm{\infty })$で増加し，$(0,1)$で減少する。また$$h(0)=a,h(1)=a-1$$である。

$0<a<1$なら，$h(-\mathrm{\infty })<0<h(0)$，$h(0)>0>h(1)$，$h(1)<0<h(\mathrm{\infty })$なので，3つの区間に1個ずつ実根がある。単調性より各区間に根は1個しかない。

逆に3実根をもつには極大値$h(0)$が正，極小値$h(1)$が負でなければならないから，$a>0$かつ$a-1<0$である。したがって$$0<a<1$$である。異なる接点は異なる接線を与えるので，これが求める範囲である。