岡山大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ を実数とする． $x$ の $2$ 次関数 $f (x) = x^{2} + a x + 1$ の区間 $a - 1 ≦ x ≦ a + 1$ における最小値を $m (a)$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) $m (\frac{1}{2})$ を求めよ．

(2) $m (a)$ を $a$ の値で場合分けして求めよ．

(3) $a$ が実数全体を動くとき， $m (a)$ の最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期文系第3問

方針

解法1

放物線の軸 $x = - a /2$ が区間 $[a - 1, a + 1]$ に入るかどうかで最小値を分ける。軸が外にある場合は近い端点で最小となる。最後は得られた $m (a)$ の3つの式をそれぞれ最小化する。

解法2

区間を固定するため $x = a + u$ と平行移動し， $- 1 ≦ u ≦ 1$ 上の平方完成として処理する。全体の最小値も各式を平方完成して比較する。

解答

解法1

(1)

$a = \frac{1}{2}$ のとき，区間は $- \frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{3}{2}$ である。放物線 $y = x^{2} + \frac{1}{2} x + 1$ の軸は $x = - \frac{1}{4}$ で，これはこの区間に含まれる。したがって

m (\frac{1}{2}) = (- \frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{4}) + 1 = \frac{15}{16}

である。

(2)

$f (x) = x^{2} + a x + 1$ の軸は $x = - \frac{a}{2}$ である。この軸が区間 $a - 1 ≦ x ≦ a + 1$ に含まれる条件は

a - 1 ≦ - \frac{a}{2} ≦ a + 1

であり，これは

- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}

と同値である。

したがって， $- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}$ のとき

m (a) = f (- \frac{a}{2}) = 1 - \frac{a ^{2}}{4}

である。

$a < - \frac{2}{3}$ のときは軸が区間の右側にあるので，区間内では右端 $x = a + 1$ で最小となる。よって

m (a) = f (a + 1) = 2 a^{2} + 3 a + 2

である。

$a > \frac{2}{3}$ のときは軸が区間の左側にあるので，区間内では左端 $x = a - 1$ で最小となる。よって

m (a) = f (a - 1) = 2 a^{2} - 3 a + 2

である。

以上より

m (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a^{2} + 3 a + 2 1 - \frac{a ^{2}}{4} 2 a^{2} - 3 a + 2 (a < - \frac{2}{3}), (- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}), (a > \frac{2}{3})

である。

(3)

$a < - \frac{2}{3}$ では， $2 a^{2} + 3 a + 2$ は $a = - \frac{3}{4}$ で最小値

2 (- \frac{3}{4})^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) + 2 = \frac{7}{8}

をとる。

$- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}$ では， $1 - \frac{a ^{2}}{4}$ の最小値は端点での値 $\frac{8}{9}$ である。

$a > \frac{2}{3}$ では， $2 a^{2} - 3 a + 2$ は $a = \frac{3}{4}$ で最小値 $\frac{7}{8}$ をとる。

よって $a$ が実数全体を動くときの $m (a)$ の最小値は

\frac{7}{8}

である。

解法2

(1)

$x = \frac{1}{2} + u$ とおくと $- 1 ≦ u ≦ 1$ であり，

f (x) = u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{3}{2} = (u + \frac{3}{4})^{2} + \frac{15}{16}

だから $m (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16}$ である。

(2)

一般に $x = a + u$ とおけば

f (a + u) = u^{2} + 3 a u + 2 a^{2} + 1 = (u + \frac{3 a}{2})^{2} + 1 - \frac{a ^{2}}{4}

となる。頂点 $u = - \frac{3 a}{2}$ が $[- 1, 1]$ 内にある条件は $∣ a ∣ ≦ \frac{2}{3}$ である。頂点が右に外れる $a < - \frac{2}{3}$ では $u = 1$ ，左に外れる $a > \frac{2}{3}$ では $u = - 1$ で最小となる。よって

m (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a^{2} + 3 a + 2 1 - \frac{a ^{2}}{4} 2 a^{2} - 3 a + 2 (a < - \frac{2}{3}), (- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}), (a > \frac{2}{3})

である。

(3)

外側の2式は

2 a^{2} \pm 3 a + 2 = 2 (a \pm \frac{3}{4})^{2} + \frac{7}{8}

であり，それぞれ許された範囲内で $\frac{7}{8}$ をとる。中央では

1 - \frac{a ^{2}}{4} ≧ \frac{8}{9} > \frac{7}{8}

である。したがって全体の最小値は $\frac{7}{8}$ である。

岡山大学 2017年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2017年度
文系数学第3問