岡山大学 2017年度 前期文系数学 第3問

(1)
$a=\frac{1}{2}$のとき，区間は$$-\frac{1}{2}\leqq x\leqq \frac{3}{2}$$である。放物線$y=x^2+\frac{1}{2}x+1$の軸は$x=-\frac{1}{4}$で，これはこの区間に含まれる。したがって$$m\left(\frac{1}{2}\right)={(-\frac{1}{4})}^2+\frac{1}{2}(-\frac{1}{4})+1=\frac{15}{16}$$である。

(2)
$f(x)=x^2+ax+1$の軸は$$x=-\frac{a}{2}$$である。この軸が区間$a-1\leqq x\leqq a+1$に含まれる条件は$$a-1\leqq -\frac{a}{2}\leqq a+1$$であり，これは$$-\frac{2}{3}\leqq a\leqq \frac{2}{3}$$と同値である。

したがって，$$-\frac{2}{3}\leqq a\leqq \frac{2}{3}$$のとき$$m(a)=f(-\frac{a}{2})=1-\frac{a^2}{4}$$である。

$a<-\frac{2}{3}$のときは軸が区間の右側にあるので，区間内では右端$x=a+1$で最小となる。よって$$m(a)=f(a+1)=2a^2+3a+2$$である。

$a>\frac{2}{3}$のときは軸が区間の左側にあるので，区間内では左端$x=a-1$で最小となる。よって$$m(a)=f(a-1)=2a^2-3a+2$$である。

以上より$$m(a)=\{\begin{array}{ll}2a^2+3a+2& (a<-{\displaystyle \frac{2}{3}}),\\ 1-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}& (-{\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}),\\ 2a^2-3a+2& (a>{\displaystyle \frac{2}{3}})\end{array}$$である。

(3)
$a<-\frac{2}{3}$では，$2a^2+3a+2$は$a=-\frac{3}{4}$で最小値$$2{(-\frac{3}{4})}^2+3(-\frac{3}{4})+2=\frac{7}{8}$$をとる。$$-\frac{2}{3}\leqq a\leqq \frac{2}{3}$$では，$1-\frac{a^2}{4}$の最小値は端点での値$\frac{8}{9}$である。

$a>\frac{2}{3}$では，$2a^2-3a+2$は$a=\frac{3}{4}$で最小値$\frac{7}{8}$をとる。

よって$a$が実数全体を動くときの$m(a)$の最小値は$$\frac{7}{8}$$である。

区間を固定するため$x=a+u$と平行移動し，$-1\leqq u\leqq 1$上の平方完成として処理する。全体の最小値も各式を平方完成して比較する。

(1)
$x=\frac{1}{2}+u$とおくと$-1\leqq u\leqq 1$であり，$$f(x)=u^2+\frac{3}{2}u+\frac{3}{2}={(u+\frac{3}{4})}^2+\frac{15}{16}$$だから$$m(\frac{1}{2})=\frac{15}{16}$$である。

(2)
一般に$x=a+u$とおけば$$f(a+u)=u^2+3au+2a^2+1={(u+\frac{3a}{2})}^2+1-\frac{a^2}{4}$$となる。頂点$$u=-\frac{3a}{2}$$が$[-1,1]$内にある条件は$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq \frac{2}{3}$である。頂点が右に外れる$a<-\frac{2}{3}$では$u=1$，左に外れる$a>\frac{2}{3}$では$u=-1$で最小となる。よって$$m(a)=\{\begin{array}{ll}2a^2+3a+2& (a<-\frac{2}{3}),\\ 1-\frac{a^2}{4}& (-\frac{2}{3}\leqq a\leqq \frac{2}{3}),\\ 2a^2-3a+2& (a>\frac{2}{3})\end{array}$$である。

(3)
外側の2式は$$2a^2\pm 3a+2=2{(a\pm \frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}$$であり，それぞれ許された範囲内で$\frac{7}{8}$をとる。中央では$$1-\frac{a^2}{4}\geqq \frac{8}{9}>\frac{7}{8}$$である。したがって全体の最小値は$\frac{7}{8}$である。