岡山大学 2018年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$k$ を実数とし、 $x$ についての2次方程式

x^{2} - k x + 3 k - 4 = 0 (*)

を考える。次の問いに答えよ。

(1) 方程式 $(*)$ が虚数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) 方程式 $(*)$ が虚数解 $α$ をもち、 $α^{4}$ が実数になるような $k$ の値をすべて求めよ。

出典：岡山大学 2018年度前期文理共通第3問

方針

解法1

虚数解の条件は判別式で求める。後半は虚数解を $p + q i$ と置き，解と係数の関係から $p, q$ を $k$ で表す。 $α^{4}$ が実数になる条件は， $α^{2}$ を2乗したときの虚部が0になることとして処理する。

解法2

虚数解 $α$ が満たす2次方程式を使って $α^{4}$ を一次式 $A α + B$ に次数下げする。 $A, B$ は実数なので、 $α$ が非実数であることから $A = 0$ を得る。

解答

解法1

(1)

判別式を $D$ とすると

D = k^{2} - 4 (3 k - 4) = k^{2} - 12 k + 16 = (k - 6)^{2} - 20

である。虚数解をもつためには $D < 0$ であればよいから

6 - 25 < k < 6 + 25

である。

(2)

虚数解を $α = p + q i$ とおく。ただし $q \neq = 0$ である。解と係数の関係から，もう一つの解は $p - q i$ であり，

2 p = k, p^{2} + q^{2} = 3 k - 4

である。よって

p = \frac{k}{2}, q^{2} = 3 k - 4 - \frac{k ^{2}}{4}

である。

また

α^{2} = (p^{2} - q^{2}) + 2 pq i

であるから， $α^{4}$ の虚部は

4 pq (p^{2} - q^{2})

である。 $q \neq = 0$ なので， $α^{4}$ が実数になるには

p = 0 または p^{2} = q^{2}

であればよい。

$p = 0$ なら $k = 0$ であり，(1)の範囲に入らない。したがって $p^{2} = q^{2}$ を考える。これは

\frac{k ^{2}}{4} = 3 k - 4 - \frac{k ^{2}}{4}

すなわち

k^{2} - 6 k + 8 = 0

である。よって

k = 2, 4

であり，いずれも(1)の範囲に含まれる。したがって求める値は

k = 2, 4

である。

解法2

(1)

判別式は

D = k^{2} - 4 (3 k - 4) = (k - 6)^{2} - 20.

虚数解をもつ条件は $D < 0$ なので

(k - 6)^{2} < 20.

よって

6 - 25 < k < 6 + 25 .

(2)

$α$ は方程式 $(*)$ の解なので

α^{2} = k α - (3 k - 4) .

この関係を繰り返し使うと

α^{4} = {k α - (3 k - 4)}^{2} = k^{2} α^{2} - 2 k (3 k - 4) α + (3 k - 4)^{2} = {k^{3} - 2 k (3 k - 4)} α - k^{2} (3 k - 4) + (3 k - 4)^{2} = k (k - 2) (k - 4) α - k^{2} (3 k - 4) + (3 k - 4)^{2} .

末尾の定数項は実数である。 $α$ は虚数解、すなわち非実数なので、 $α^{4}$ が実数になるための必要十分条件は

k (k - 2) (k - 4) = 0

である。候補は

k = 0, 2, 4.

このうち $k = 0$ は (1) の範囲外であり、実際に方程式は $x^{2} - 4 = 0$ となる。 $k = 2, 4$ はともに (1) の範囲内にある。したがって

k = 2, 4 .

岡山大学 2018年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

岡山大学 2018年度
文理共通数学第3問