岡山大学 2018年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内に3点

A (2, 0, 1), B (0, 3, - 1), C (0, 3, - 3)

がある。線分 $B C$ 上の点を $P (0, 3, s)$ とおく。線分 $A P$ を

t : (1 - t)

に内分する点を $Q$ とする。ただし

0 < t < 1

とする。点 $Q$ を中心とする半径 $3$ の球面を $K$ とし、球面 $K$ と $x y$ 平面が交わってできる円の面積を $S_{1}$ 、球面 $K$ と $y z$ 平面が交わってできる円の面積を $S_{2}$ とおく。次の問いに答えよ。

(1) 球面 $K$ の方程式を求めよ。

(2) $S_{1}$ を $s, t$ の式で表せ。

(3) 点 $P$ は線分 $B C$ 上で固定し、点 $Q$ は線分 $A P$ 上を動くものとする。 $S_{1} + S_{2}$ が最大値をとる $t$ を $s$ の式で表せ。

(4) (3)において、点 $Q$ が線分 $A P$ の中点であるときに $S_{1} + S_{2}$ が最大値をとるとする。このときの $s$ の値を求めよ。

出典：岡山大学 2018年度前期文理共通第4問

方針

解法1

内分公式で $Q$ の座標を求め，球面の方程式を書く。座標平面との交円の半径は，球の半径の二乗から中心と平面の距離の二乗を引いて求める。 $S_{1} + S_{2}$ は $t$ の二次式になるので，平方完成に相当する最小化で最大条件を出す。

解法2

$S_{1} + S_{2}$ は、点 $Q$ の $x, z$ 座標の平方和が小さいほど大きい。そこで $Q$ を $x z$ 平面へ射影し、線分上で原点に最も近い点を内積の垂直条件から求める。

解答

解法1

(1)

点 $P$ は線分 $B C$ 上にあるから $- 3 ≦ s ≦ - 1$ である。 $A Q : QP = t : (1 - t)$ と解釈すると，内分公式より

Q = (1 - t) A + tP = (2 (1 - t), 3 t, 1 + (s - 1) t)

である。したがって球面 $K$ の方程式は

{x - 2 (1 - t)}^{2} + (y - 3 t)^{2} + {z - 1 - (s - 1) t}^{2} = 9

である。

(2)

$x y$ 平面と球面の交わりは，中心 $Q$ から $x y$ 平面までの距離 $∣1 + (s - 1) t ∣$ を用いて，半径の二乗が

9 - {1 + (s - 1) t}^{2}

の円である。よって

S_{1} = π [9 - {1 + (s - 1) t}^{2}]

である。

(3)

同様に， $y z$ 平面との交円の半径の二乗は

9 - {2 (1 - t)}^{2}

であるから

S_{2} = π {9 - 4 (1 - t)^{2}}

である。したがって $S_{1} + S_{2}$ を最大にすることは

{1 + (s - 1) t}^{2} + 4 (1 - t)^{2}

を最小にすることと同じである。これを $t$ で微分して

2 (s - 1) {1 + (s - 1) t} - 8 (1 - t) = 0

を得る。よって

t = \frac{5 - s}{( s - 1 ) ^{2} + 4}

である。 $- 3 ≦ s ≦ - 1$ ではこの値は $0 < t < 1$ を満たす。

(4)

(3)の値が $\frac{1}{2}$ であればよいから

\frac{5 - s}{( s - 1 ) ^{2} + 4} = \frac{1}{2}

である。整理すると

s^{2} = 5

である。 $- 3 ≦ s ≦ - 1$ より

s = - 5

である。

解法2

(1)

線分 $B C$ 上では

- 3 ≦ s ≦ - 1.

また $A Q : QP = t : (1 - t)$ より

Q = (1 - t) A + tP = (2 (1 - t), 3 t, 1 + (s - 1) t) .

したがって

{x - 2 (1 - t)}^{2} + (y - 3 t)^{2} + {z - 1 - (s - 1) t}^{2} = 9 .

(2)

中心から $x y$ 平面までの距離は

∣1 + (s - 1) t ∣

である。交円の半径の二乗は

9 - {1 + (s - 1) t}^{2}

なので

S_{1} = π [9 - {1 + (s - 1) t}^{2}] .

(3)

同様に中心から $y z$ 平面までの距離は $2 (1 - t)$ であるから

S_{2} = π {9 - 4 (1 - t)^{2}} .

よって

S_{1} + S_{2} = π [18 - {1 + (s - 1) t}^{2} - 4 (1 - t)^{2}] .

これは、 $Q$ の $x z$ 平面への射影

R (t) = (2 (1 - t), 1 + (s - 1) t)

と原点との距離が最小のときに最大となる。 $R (t)$ は

U = (2, 1), V = (0, s)

を結ぶ線分上を動き、その方向ベクトルは

U V = (- 2, s - 1)

である。最短点では $O R ⊥ U V$ だから

(2 (1 - t), 1 + (s - 1) t) \cdot (- 2, s - 1) = 0.

整理して

(s - 5) + {4 + (s - 1)^{2}} t = 0.

したがって

t = \frac{5 - s}{( s - 1 ) ^{2} + 4} .

(4)

中点で最大となるなら、 $t = 1/2$ の点が最短点である。中点の射影と方向ベクトルは

R (\frac{1}{2}) = (1, \frac{1 + s}{2}), U V = (- 2, s - 1) .

垂直条件から

(1, \frac{1 + s}{2}) \cdot (- 2, s - 1) = 0.

したがって

- 2 + \frac{s ^{2} - 1}{2} = 0, s^{2} = 5.

$- 3 ≦ s ≦ - 1$ より

s = - 5 .

岡山大学 2018年度文理共通数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2018年度
文理共通数学第4問