岡山大学 2018年度 前期文系数学 第1問

(1)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$ であるから，点 $A(t,f(t))$ における接線 $L$ は$$y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$$である。曲線 $C$ との共有点の $x$ 座標は$$x^3-3x=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$$を満たす。整理すると$$x^3-3t^{2}x+2t^3=0$$すなわち$$(x-t{)}^2(x+2t)=0$$である。接点以外の共有点は $x=-2t$ であるから$$B=(-2t,-8t^3+6t)$$である。

(2)
$A$ の $y$ 座標は $t^3-3t$ である。よって2点の $y$ 座標の差の絶対値は$$\mathrm{\mid }(-8t^3+6t)-(t^3-3t)\mathrm{\mid }=9t(1-t^2)$$である。$0<t<1$ において $g(t)=t-t^3$ とおくと，$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=1-3t^2$$であるから，$g(t)$ は $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で最大となる。したがって求める値は$$t=\frac{1}{\sqrt{3}}$$である。

接線の傾きと $A,B$ 間の割線の傾きが等しいことから、展開した接線方程式を作らずに $B$ の $x$ 座標を求める。最大化には微分ではなく相加・相乗平均を用いる。

(1)

点 $B$ の $x$ 座標を $u$ とする。$u\mathrm{\ne }t$ であり、直線 $AB$ は $A$ における接線なので$$\frac{f(u)-f(t)}{u-t}=f^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$左辺を因数分解すると$$\frac{u^3-t^3-3(u-t)}{u-t}=u^2+ut+t^2-3.$$したがって$$u^2+ut+t^2-3=3t^2-3,$$すなわち$$(u-t)(u+2t)=0.$$$u\mathrm{\ne }t$ より $u=-2t$ である。よって$$B=(-2t,-8t^3+6t)\mathrm{.}$$(2)

座標差は解法1と同様に$$d(t)=9t(1-t^2)\mathrm{.}$$ここで正の3数$$t^2,\frac{1-t^2}{2},\frac{1-t^2}{2}$$の和は $1$ である。相加・相乗平均より$${\left\{t^2{\left(\frac{1-t^2}{2}\right)}^2\right\}}^{1\mathrm{/}3}\leqq \frac{1}{3}\mathrm{.}$$よって$$t^2(1-t^2{)}^2\leqq \frac{4}{27}\mathrm{.}$$等号は$$t^2=\frac{1-t^2}{2}$$のとき、すなわち $t=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のときに成り立つ。したがって$$t=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$