岡山大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

関数

f (x) = x^{3} - 3 x

を考える。曲線

C : y = f (x)

上の点 $A (t, f (t))$ における接線を $L$ とする。ただし

0 < t < 1

とする。曲線 $C$ と接線 $L$ の接点 $A$ 以外の共有点を $B$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 $B$ の座標を $t$ を用いて表せ。

(2) 2点 $A, B$ の $y$ 座標の差の絶対値が最大となる $t$ の値を求めよ。

出典：岡山大学 2018年度前期文系第1問

方針

解法1

接線の方程式を作り，曲線との交点条件を因数分解する。接点 $x = t$ は重解になるので，もう一つの交点を読み取る。後半は2点の $y$ 座標差を $t$ の関数にして最大化する。

解法2

接線の傾きと $A, B$ 間の割線の傾きが等しいことから、展開した接線方程式を作らずに $B$ の $x$ 座標を求める。最大化には微分ではなく相加・相乗平均を用いる。

解答

解法1

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ であるから，点 $A (t, f (t))$ における接線 $L$ は

y = (3 t^{2} - 3) (x - t) + t^{3} - 3 t

である。曲線 $C$ との共有点の $x$ 座標は

x^{3} - 3 x = (3 t^{2} - 3) (x - t) + t^{3} - 3 t

を満たす。整理すると

x^{3} - 3 t^{2} x + 2 t^{3} = 0

すなわち

(x - t)^{2} (x + 2 t) = 0

である。接点以外の共有点は $x = - 2 t$ であるから

B = (- 2 t, - 8 t^{3} + 6 t)

である。

(2)

$A$ の $y$ 座標は $t^{3} - 3 t$ である。よって2点の $y$ 座標の差の絶対値は

∣ (- 8 t^{3} + 6 t) - (t^{3} - 3 t) ∣ = 9 t (1 - t^{2})

である。 $0 < t < 1$ において $g (t) = t - t^{3}$ とおくと，

g^{'} (t) = 1 - 3 t^{2}

であるから， $g (t)$ は $t = \frac{1}{3}$ で最大となる。したがって求める値は

t = \frac{1}{3}

である。

解法2

(1)

点 $B$ の $x$ 座標を $u$ とする。 $u \neq = t$ であり、直線 $A B$ は $A$ における接線なので

\frac{f ( u ) - f ( t )}{u - t} = f^{'} (t) .

左辺を因数分解すると

\frac{u ^{3} - t ^{3} - 3 ( u - t )}{u - t} = u^{2} + u t + t^{2} - 3.

したがって

u^{2} + u t + t^{2} - 3 = 3 t^{2} - 3,

すなわち

(u - t) (u + 2 t) = 0.

$u \neq = t$ より $u = - 2 t$ である。よって

B = (- 2 t, - 8 t^{3} + 6 t) .

(2)

座標差は解法1と同様に

d (t) = 9 t (1 - t^{2}) .

ここで正の3数

t^{2}, \frac{1 - t ^{2}}{2}, \frac{1 - t ^{2}}{2}

の和は $1$ である。相加・相乗平均より

{t^{2} (\frac{1 - t ^{2}}{2})^{2}}^{1/3} ≦ \frac{1}{3} .

よって

t^{2} (1 - t^{2})^{2} ≦ \frac{4}{27} .

等号は

t^{2} = \frac{1 - t ^{2}}{2}

のとき、すなわち $t = 1/ 3$ のときに成り立つ。したがって

t = \frac{1}{3} .

岡山大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

岡山大学 2018年度
文系数学第1問