岡山大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

角 $α$ は

0 ≦ α ≦ π, cos α = \frac{1}{3}

を満たすとする。角 $θ$ は

α ≦ θ ≦ π

の範囲を動くとする。また

f (θ) = sin 2 θ - sin θ - cos θ + 2, t = sin θ + cos θ

とおく。次の問いに答えよ。

(1)

sin (α + \frac{π}{4})

の値を求めよ。

(2) $t$ の値の範囲を求めよ。

(3) $f (θ)$ を $t$ の式で表せ。

(4) $f (θ)$ の最小値を求めよ。

出典：岡山大学 2018年度前期文系第2問

方針

解法1

$cos α = 1/3$ から $sin α$ を求め， $t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + π /4)$ として範囲を出す。 $f (θ)$ は $t$ の二次式に整理し，得られた $t$ の範囲で最小値を調べる。

解法2

関数 $t (θ) = sin θ + cos θ$ を直接微分し、指定区間で単調減少することから値域を得る。後半は $t^{2} = 1 + sin 2 θ$ を使い、平方完成する。

解答

解法1

(1)

$0 ≦ α ≦ π$ かつ $cos α = \frac{1}{3}$ であるから

sin α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}

である。したがって

sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{sin α + cos α}{2} = \frac{4 + 2}{6}

である。

(2)

t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

である。 $α ≦ θ ≦ π$ より

α + \frac{π}{4} ≦ θ + \frac{π}{4} ≦ \frac{5 π}{4}

である。この範囲で $sin (θ + \frac{π}{4})$ は $θ = α$ のとき最大， $θ = π$ のとき最小である。よって

- 1 ≦ t ≦ \frac{1 + 2 2}{3}

である。

(3)

t^{2} = (sin θ + cos θ)^{2} = 1 + sin 2 θ

より， $sin 2 θ = t^{2} - 1$ である。したがって

f (θ) = sin 2 θ - sin θ - cos θ + 2 = t^{2} - t + 1

である。

(4)

(2)の範囲に $t = \frac{1}{2}$ は含まれる。よって

t^{2} - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

より， $f (θ)$ の最小値は

\frac{3}{4}

である。

解法2

(1)

$0 ≦ α ≦ π$ なので $sin α ≧ 0$ である。したがって

sin α = 1 - cos^{2} α = \frac{2 2}{3} .

加法定理より

sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{sin α + cos α}{2} = \frac{4 + 2}{6} .

(2)

$cos α = 1/3 < cos (π /4)$ であり、 $cos θ$ は $[0, π]$ で減少するので

α > \frac{π}{4} .

ここで

t^{'} (θ) = cos θ - sin θ .

$α ≦ θ ≦ π /2$ では $θ > π /4$ より $cos θ < sin θ$ 、また $π /2 ≦ θ ≦ π$ では $cos θ ≦ 0 ≦ sin θ$ である。よって全区間で

t^{'} (θ) < 0.

したがって $t$ は単調減少し、端点で

t (α) t (π) = sin α + cos α = \frac{1 + 2 2}{3}, = - 1.

ゆえに

- 1 ≦ t ≦ \frac{1 + 2 2}{3} .

(3)

t^{2} = (sin θ + cos θ)^{2} = 1 + sin 2 θ

なので

sin 2 θ = t^{2} - 1.

これを代入すると

f (θ) = t^{2} - t + 1 .

(4)

(2)の値域には $t = 1/2$ が含まれる。また

t^{2} - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} .

したがって

min f (θ) = \frac{3}{4} .

岡山大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2018年度
文系数学第2問