岡山大学 2018年度 前期文系数学 第2問

(1)
$0\leqq \alpha \leqq \pi$ かつ $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ であるから$$\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。したがって$$\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sqrt{2}}=\frac{4+\sqrt{2}}{6}$$である。

(2) $$t=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$$である。$$\alpha \leqq \theta \leqq \pi$$ より$$\alpha +\frac{\pi }{4}\leqq \theta +\frac{\pi }{4}\leqq \frac{5\pi }{4}$$である。この範囲で $\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$ は $\theta =\alpha$ のとき最大，$\theta =\pi$ のとき最小である。よって$$-1\leqq t\leqq \frac{1+2\sqrt{2}}{3}$$である。

(3) $$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+\sin 2\theta$$より，$\sin 2\theta =t^2-1$ である。したがって$$f(\theta )=\sin 2\theta -\sin \theta -\cos \theta +2=t^2-t+1$$である。

(4)
(2)の範囲に $t=\frac{1}{2}$ は含まれる。よって$$t^2-t+1={(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}$$より，$f(\theta )$ の最小値は$$\frac{3}{4}$$である。

関数 $t(\theta )=\sin \theta +\cos \theta$ を直接微分し、指定区間で単調減少することから値域を得る。後半は $t^2=1+\sin 2\theta$ を使い、平方完成する。

(1)

$0\leqq \alpha \leqq \pi$ なので $\sin \alpha \geqq 0$ である。したがって$$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$加法定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin (\alpha +\frac{\pi }{4})}& {\displaystyle =\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4+\sqrt{2}}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$\cos \alpha =1\mathrm{/}3<\cos (\pi \mathrm{/}4)$$ であり、$\cos \theta$ は $[0,\pi ]$ で減少するので$$\alpha >\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$ここで$$t^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\cos \theta -\sin \theta \mathrm{.}$$$$\alpha \leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$$ では $\theta >\pi \mathrm{/}4$ より $\cos \theta <\sin \theta$、また $$\pi \mathrm{/}2\leqq \theta \leqq \pi$$ では $$\cos \theta \leqq 0\leqq \sin \theta$$ である。よって全区間で$$t^{\mathrm{\prime }}(\theta )<0.$$したがって $t$ は単調減少し、端点で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t(\alpha )}& {\displaystyle =\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1+2\sqrt{2}}{3},}\\ {\displaystyle t(\pi )}& {\displaystyle =-1.}\end{array}$$ゆえに$$-1\leqq t\leqq \frac{1+2\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$(3)$$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+\sin 2\theta$$なので$$\sin 2\theta =t^2-1.$$これを代入すると$$f(\theta )=t^2-t+1\mathrm{.}$$(4)

(2) の値域には $t=1\mathrm{/}2$ が含まれる。また$$t^2-t+1={(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\mathrm{.}$$したがって$$\min f(\theta )=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$