岡山大学 2018年度 前期理系数学 第1問

(1)
$e^x>0$ であるから，$f(x)=0$ は$$1+x=0$$と同値である。よって$$x=-1$$である。

(2)
接点の $x$ 座標を $t$ とする。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+2)e^x$ であるから，接線は$$y=(t+2)e^t(x-t)+(t+1)e^t$$である。これが原点を通る条件は$$0=-(t+2)t{e}^t+(t+1)e^t$$すなわち$$t^2+t-1=0$$である。よって$$t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$である。したがって求める接線は$$y=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)e^{(-1+\sqrt{5})\mathrm{/}2}x,y=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)e^{(-1-\sqrt{5})\mathrm{/}2}x$$である。

(3)
接点の $x$ 座標が最大のものは$$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$である。このとき接線 $L$ の傾きは $(\alpha +2)e^{\alpha }$ である。求める面積を $S$ とすると，曲線は $x=-1$ で $x$ 軸と交わり，接線は原点を通るので$$S={\int }_{-1}^{\alpha }(1+x)e^{x}dx-{\int }_0^{\alpha }(\alpha +2)e^{\alpha }xdx$$である。$\{x{e}^x{\}}^{\mathrm{\prime }}=(1+x)e^x$ より$${\int }_{-1}^{\alpha }(1+x)e^{x}dx=\alpha e^{\alpha }+e^{-1}$$である。また ${\alpha }^2+\alpha =1$ から ${\alpha }^2(\alpha +2)=1$ である。よって$$S=\alpha e^{\alpha }+e^{-1}-\frac{{\alpha }^2(\alpha +2)e^{\alpha }}{2}=e^{-1}+(\alpha -\frac{1}{2})e^{\alpha }$$である。したがって$$S=e^{-1}+\frac{\sqrt{5}-2}{2}{e}^{(-1+\sqrt{5})\mathrm{/}2}$$である。

原点と曲線上の点 $(t,f(t))$ を結ぶ直線の傾き $m(t)=f(t)\mathrm{/}t$ を考える。その直線が接線になる条件を $m^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ と捉えて接点を求め、面積は曲線下の面積から接線下の三角形を引く。

(1)

指数関数は常に正なので$$(1+x)e^x=0$$と$$1+x=0$$は同値である。よって$$x=-1\mathrm{.}$$(2)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。原点と $(t,f(t))$ を結ぶ直線の傾きを$$m(t)=\frac{f(t)}{t}=(1+\frac{1}{t})e^t$$とおく。ここで接点候補は $t\mathrm{\ne }0$ である。この直線が曲線に接する条件は$$m(t)=f^{\mathrm{\prime }}(t),$$すなわち$$m^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)-f(t)}{t^2}=0$$である。直接微分すると$$m^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{e^t(t^2+t-1)}{t^2}\mathrm{.}$$よって$$t^2+t-1=0,t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)=(t+2)e^t$ なので、求める2本は$$y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}{e}^{(-1+\sqrt{5})\mathrm{/}2}x,$$$$y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}{e}^{(-1-\sqrt{5})\mathrm{/}2}x\mathrm{.}$$(3)

大きい方の接点を$$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$とおく。囲まれた領域は、$-1\leqq x\leqq 0$ では曲線と $x$ 軸の間、$0\leqq x\leqq \alpha$ では曲線と接線の間である。

曲線下の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{\alpha }(1+x)e^{x}dx}& {\displaystyle ={\left[x{e}^x\right]}_{-1}^{\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\alpha e^{\alpha }+e^{-1}\mathrm{.}}\end{array}$$接線下の部分は底辺 $\alpha$、高さ $f(\alpha )$ の三角形である。${\alpha }^2+\alpha =1$ より$$\frac{1}{2}\alpha f(\alpha )=\frac{1}{2}\alpha (1+\alpha )e^{\alpha }=\frac{1}{2}{e}^{\alpha }\mathrm{.}$$したがって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =e^{-1}+(\alpha -\frac{1}{2})e^{\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-1}+\frac{\sqrt{5}-2}{2}{e}^{(-1+\sqrt{5})\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$