岡山大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

関数

f (x) = (1 + x) e^{x}

について、次の問いに答えよ。

(1) $f (x) = 0$ を満たす $x$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $y = f (x)$ について、原点を通るすべての接線の方程式を求めよ。

(3) 曲線 $y = f (x)$ について、原点を通る接線のうち、接点の $x$ 座標が最大のものを $L$ とする。曲線 $y = f (x)$ 、直線 $L$ 、および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：岡山大学 2018年度前期理系第1問

方針

解法1

$f (x) = (1 + x) e^{x}$ の零点は指数部分が正であることから求める。原点を通る接線は，接点を $x = t$ と置いて接線が原点を通る条件を立てる。面積は零点から接点までの曲線下の面積から，原点から接点までの接線下の三角形の面積を引いて求める。

解法2

原点と曲線上の点 $(t, f (t))$ を結ぶ直線の傾き $m (t) = f (t) / t$ を考える。その直線が接線になる条件を $m^{'} (t) = 0$ と捉えて接点を求め、面積は曲線下の面積から接線下の三角形を引く。

解答

解法1

(1)

$e^{x} > 0$ であるから， $f (x) = 0$ は

1 + x = 0

と同値である。よって

x = - 1

である。

(2)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $f^{'} (x) = (x + 2) e^{x}$ であるから，接線は

y = (t + 2) e^{t} (x - t) + (t + 1) e^{t}

である。これが原点を通る条件は

0 = - (t + 2) t e^{t} + (t + 1) e^{t}

すなわち

t^{2} + t - 1 = 0

である。よって

t = \frac{- 1 \pm 5}{2}

である。したがって求める接線は

y = (\frac{3 + 5}{2}) e^{(- 1 + 5) /2} x, y = (\frac{3 - 5}{2}) e^{(- 1 - 5) /2} x

である。

(3)

接点の $x$ 座標が最大のものは

α = \frac{- 1 + 5}{2}

である。このとき接線 $L$ の傾きは $(α + 2) e^{α}$ である。求める面積を $S$ とすると，曲線は $x = - 1$ で $x$ 軸と交わり，接線は原点を通るので

S = \int_{- 1}^{α} (1 + x) e^{x} d x - \int_{0}^{α} (α + 2) e^{α} x d x

である。 ${x e^{x}}^{'} = (1 + x) e^{x}$ より

\int_{- 1}^{α} (1 + x) e^{x} d x = α e^{α} + e^{- 1}

である。また $α^{2} + α = 1$ から $α^{2} (α + 2) = 1$ である。よって

S = α e^{α} + e^{- 1} - \frac{α ^{2} ( α + 2 ) e ^{α}}{2} = e^{- 1} + (α - \frac{1}{2}) e^{α}

である。したがって

S = e^{- 1} + \frac{5 - 2}{2} e^{(- 1 + 5) /2}

である。

解法2

(1)

指数関数は常に正なので

(1 + x) e^{x} = 0

と

1 + x = 0

は同値である。よって

x = - 1 .

(2)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。原点と $(t, f (t))$ を結ぶ直線の傾きを

m (t) = \frac{f ( t )}{t} = (1 + \frac{1}{t}) e^{t}

とおく。ここで接点候補は $t \neq = 0$ である。この直線が曲線に接する条件は

m (t) = f^{'} (t),

すなわち

m^{'} (t) = \frac{t f ^{'} ( t ) - f ( t )}{t ^{2}} = 0

である。直接微分すると

m^{'} (t) = \frac{e ^{t} ( t ^{2} + t - 1 )}{t ^{2}} .

よって

t^{2} + t - 1 = 0, t = \frac{- 1 \pm 5}{2} .

接線の傾きは $f^{'} (t) = (t + 2) e^{t}$ なので、求める2本は

y = \frac{3 + 5}{2} e^{(- 1 + 5) /2} x,

y = \frac{3 - 5}{2} e^{(- 1 - 5) /2} x .

(3)

大きい方の接点を

α = \frac{- 1 + 5}{2}

とおく。囲まれた領域は、 $- 1 ≦ x ≦ 0$ では曲線と $x$ 軸の間、 $0 ≦ x ≦ α$ では曲線と接線の間である。

曲線下の面積は

\int_{- 1}^{α} (1 + x) e^{x} d x = [x e^{x}]_{- 1}^{α} = α e^{α} + e^{- 1} .

接線下の部分は底辺 $α$ 、高さ $f (α)$ の三角形である。 $α^{2} + α = 1$ より

\frac{1}{2} α f (α) = \frac{1}{2} α (1 + α) e^{α} = \frac{1}{2} e^{α} .

したがって面積 $S$ は

S = e^{- 1} + (α - \frac{1}{2}) e^{α} = e^{- 1} + \frac{5 - 2}{2} e^{(- 1 + 5) /2} .

岡山大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2018年度
理系数学第1問