岡山大学 2019年度文理共通数学第2問（別問題）解答・解説

問題

$a, b$ を正の数とする．数列 ${x_{n}}$ を

x_{1} = a, x_{2} = b

x_{n + 2} = \frac{1 + x _{n + 1}}{x _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める．以下の問いに答えよ．

(1) $x_{6}, x_{7}$ を $a, b$ を用いて表せ．

(2) $a = 2$ とする． $x_{n}$ $(n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots)$ がすべて自然数になるような $b$ の値をすべて求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期文理共通第2問

方針

解法1

最初の数項を漸化式から順に計算し， $x_{6} = x_{1}, x_{7} = x_{2}$ となる周期性を確認する。自然数条件は周期の中の $x_{1}$ から $x_{5}$ だけを調べればよい。

解法2

隣り合う2項への写像 $T (u, v) = (v, (1 + v) / u)$ を考え、5回作用させると元の組へ戻ることを直接示す。自然数条件はこの5周期のうち特に強い2項から候補を絞る。

解答

解法1

(1)

漸化式から

x_{3} = \frac{1 + b}{a}, x_{4} = \frac{1 + x _{3}}{x _{2}} = \frac{a + b + 1}{ab}, x_{5} = \frac{1 + x _{4}}{x _{3}} = \frac{a + 1}{b}

である。したがって

x_{6} = \frac{1 + x _{5}}{x _{4}} = a, x_{7} = \frac{1 + x _{6}}{x _{5}} = b

を得る。

(2)

$a = 2$ とすると，(1)の計算より

x_{1} = 2, x_{2} = b, x_{3} = \frac{b + 1}{2}, x_{4} = \frac{b + 3}{2 b}, x_{5} = \frac{3}{b}

であり， $x_{6} = x_{1}, x_{7} = x_{2}$ であるから，以後は周期的に繰り返す。よって $x_{1}$ から $x_{5}$ までがすべて自然数であることを調べればよい。

特に $x_{2} = b$ と $x_{5} = 3/ b$ が自然数であるから， $b$ は $3$ の正の約数であり， $b = 1, 3$ に限られる。実際， $b = 1$ のとき

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (2, 1, 1, 2, 3),

$b = 3$ のとき

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (2, 3, 2, 1, 1)

で，いずれもすべて自然数である。したがって求める値は

b = 1, 3

である。

解法2

(1)

隣り合う2項を

T (u, v) = (v, \frac{1 + v}{u})

によって次の2項へ移すと考える。 $(x_{1}, x_{2}) = (a, b)$ から順に計算すると

(x_{2}, x_{3}) (x_{3}, x_{4}) (x_{4}, x_{5}) (x_{5}, x_{6}) (x_{6}, x_{7}) = (b, \frac{1 + b}{a}), = (\frac{1 + b}{a}, \frac{1 + a + b}{ab}), = (\frac{1 + a + b}{ab}, \frac{1 + a}{b}), = (\frac{1 + a}{b}, a), = (a, b) .

したがって

x_{6} = a, x_{7} = b,

さらに $x_{n + 5} = x_{n}$ が成り立つ。

(2)

$a = 2$ とすると、1周期は

2, b, \frac{b + 1}{2}, \frac{b + 3}{2 b}, \frac{3}{b}

である。すべて自然数なら $b$ 自身が自然数で、かつ $3/ b$ も自然数である。よって

b ∣ 3

であり、候補は $b = 1, 3$ に限られる。

$b = 1$ の周期は

2, 1, 1, 2, 3,

$b = 3$ の周期は

2, 3, 2, 1, 1

で、どちらも全項が自然数である。したがって

b = 1, 3

が求めるすべての値である。

岡山大学 2019年度文理共通数学 第2問（別問題）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

岡山大学 2019年度
文理共通数学第2問（別問題）