岡山大学 2019年度文理共通数学第2問（別問題2）解答・解説

問題

$a, b$ を正の数とする．数列 ${x_{n}}$ を

x_{1} = a, x_{2} = b

x_{n + 2} = \frac{1 + x _{n + 1}}{x _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める．以下の問いに答えよ．

(1) $x_{6}, x_{7}$ を $a, b$ を用いて表せ．

(2) $x_{n}$ $(n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots)$ がすべて自然数になるような $a, b$ の組をすべて求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期文理共通第2問

方針

解法1

最初の数項を漸化式から順に計算し， $x_{6} = x_{1}, x_{7} = x_{2}$ となる周期性を確認する。自然数条件は周期の中の $x_{1}$ から $x_{5}$ だけを調べればよい。一般の場合は $x_{4}$ が自然数である条件を中心に， $a, b$ が自然数であることを使って候補を有限個に絞る。

解法2

5周期を確認した後、中央の項 $x_{4} = m$ を自然数とおく。方程式 $a + b + 1 = mab$ を積の形に変形し、 $m$ の大きさごとに正の整数解を尽くす。

解答

解法1

(1)

漸化式から

x_{3} = \frac{1 + b}{a}, x_{4} = \frac{1 + x _{3}}{x _{2}} = \frac{a + b + 1}{ab}, x_{5} = \frac{1 + x _{4}}{x _{3}} = \frac{a + 1}{b}

である。したがって

x_{6} = \frac{1 + x _{5}}{x _{4}} = a, x_{7} = \frac{1 + x _{6}}{x _{5}} = b

を得る。

(2)

すべての $x_{n}$ が自然数なら，特に $a = x_{1}$ と $b = x_{2}$ は自然数である。また(1)より数列は5項ごとに繰り返すので，

x_{1} = a, x_{2} = b, x_{3} = \frac{b + 1}{a}, x_{4} = \frac{a + b + 1}{ab}, x_{5} = \frac{a + 1}{b}

がすべて自然数であることが必要十分である。

$x_{4} = m$ とおくと， $m$ は自然数で

a + b + 1 = mab

である。まず $a = 1$ のとき， $b + 2 = mb$ だから $(m - 1) b = 2$ であり， $(a, b) = (1, 1), (1, 2)$ を得る。同様に $b = 1$ のとき， $(a, b) = (1, 1), (2, 1)$ を得る。

次に $a ≧ 2, b ≧ 2$ とする。このとき $m \neq = 2, 3, \dots$ なら左辺より右辺が大きくなり不可能であるから， $m = 1$ である。よって

ab = a + b + 1

すなわち

(a - 1) (b - 1) = 2

である。したがって

(a, b) = (2, 3), (3, 2)

を得る。

得られた候補

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)

では，いずれも $x_{1}$ から $x_{5}$ までが自然数であることを直接確認できる。よって求める組は

(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)

である。

解法2

(1)

漸化式を順に用いると

x_{3} = \frac{1 + b}{a}, x_{4} = \frac{1 + a + b}{ab}, x_{5} = \frac{1 + a}{b} .

さらに

x_{6} = \frac{1 + x _{5}}{x _{4}} = a, x_{7} = \frac{1 + x _{6}}{x _{5}} = b .

したがって

x_{6} = a, x_{7} = b,

かつ数列は5項を周期として繰り返す。

(2)

全項が自然数なら $a, b$ は自然数である。 $x_{4} = m$ とおくと $m$ も自然数で

a + b + 1 = mab . (1)

(1)を積の形にすると

(ma - 1) (mb - 1) = m + 1. (2)

$m = 1$ のとき、(2)は

(a - 1) (b - 1) = 2

となるので

(a, b) = (2, 3), (3, 2) .

$m = 2$ のとき

(2 a - 1) (2 b - 1) = 3

より

(a, b) = (1, 2), (2, 1) .

$m = 3$ のとき、左辺の2因子はともに2以上で積が4だから、両方が2である。よって

(a, b) = (1, 1) .

$m ≧ 4$ なら

(ma - 1) (mb - 1) ≧ (m - 1)^{2} > m + 1

となり、(2)に反する。以上の候補について1周期を計算すると

(a, b) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 3) (3, 2) (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) (1, 1, 2, 3, 2) (1, 2, 3, 2, 1) (2, 1, 1, 2, 3) (2, 3, 2, 1, 1) (3, 2, 1, 1, 2)

で、すべて自然数である。したがって求める組は

(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) .

岡山大学 2019年度文理共通数学 第2問（別問題2）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

岡山大学 2019年度
文理共通数学第2問（別問題2）