岡山大学 2019年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

一辺の長さが $1$ の正四面体 $O A B C$ において，辺 $O A$ の中点を $D,$ 辺 $O B$ を $1 : 3$ に内分する点を $E,$ 辺 $O C$ を $1 : 3$ に内分する点を $F$ とする． $△ D E F$ の重心を $G$ とし，直線 $O G$ と $△ A B C$ の交点を $H$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) ベクトル $O G$ を $O A,$ $O B, O C$ を用いて表せ．

(2) 線分 $A H$ の長さを求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期文理共通第3問

方針

解法1

$O A, O B, O C$ を基準のベクトルとして， $D, E, F$ と重心 $G$ の位置ベクトルを表す。 $H$ は平面 $A B C$ 上にあるので， $O H$ の係数和が $1$ になることを用いて $H$ を求め，最後は正四面体の内積を使って $A H$ を計算する。

解法2

重心と平面の係数和から $H$ の内分比を出し、 $H$ が正三角形 $A B C$ の中線の中点であることを読む。長さは空間内積ではなく、正三角形の高さで求める。

解答

解法1

(1)

$O A = a, O B = b, O C = c$ とおく。条件より

O D = \frac{1}{2} a, O E = \frac{1}{4} b, O F = \frac{1}{4} c

である。 $G$ は $△ D E F$ の重心であるから

O G = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b + \frac{1}{4} c) = \frac{1}{6} a + \frac{1}{12} b + \frac{1}{12} c

である。

(2)

直線 $O G$ 上の点は $λ O G$ と表される。点が平面 $A B C$ 上にあるためには， $a, b, c$ の係数の和が $1$ であればよい。したがって

λ (\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}) = 1

より $λ = 3$ である。よって

O H = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b + \frac{1}{4} c

となる。

正四面体の一辺の長さは $1$ であるから

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

である。したがって

A H = O H - a = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b + \frac{1}{4} c

より

A H^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}

である。よって

A H = \frac{3}{4}

である。

解法2

(1)

O D = \frac{1}{2} O A, O E = \frac{1}{4} O B, O F = \frac{1}{4} O C .

$G$ は $△ D E F$ の重心なので

O G = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} O A + \frac{1}{4} O B + \frac{1}{4} O C) = \frac{1}{6} O A + \frac{1}{12} O B + \frac{1}{12} O C .

(2)

直線 $O G$ 上で平面 $A B C$ に達するまで、各係数は同じ倍率で増える。平面 $A B C$ 上では3係数の和が1だから、その倍率は

(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12})^{- 1} = 3.

したがって

O H = \frac{1}{2} O A + \frac{1}{4} O B + \frac{1}{4} O C .

辺 $B C$ の中点を $M$ とすれば

O M = \frac{1}{2} O B + \frac{1}{2} O C,

よって

O H = \frac{1}{2} O A + \frac{1}{2} O M .

これは $H$ が線分 $A M$ の中点であることを表す。正三角形 $A B C$ の一辺は1なので

A M = \frac{3}{2} .

ゆえに

A H = \frac{1}{2} A M = \frac{3}{4} .

岡山大学 2019年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

岡山大学 2019年度
文理共通数学第3問