岡山大学 2019年度 前期 その2文系数学 第2問

(1)
漸化式から$$x_3=\frac{1+b}{a},x_4=\frac{1+x_3}{x_2}=\frac{a+b+1}{ab},x_5=\frac{1+x_4}{x_3}=\frac{a+1}{b}$$である。したがって$$x_6=\frac{1+x_5}{x_4}=a,x_7=\frac{1+x_6}{x_5}=b$$を得る。

(2)
すべての $x_n$ が自然数なら，特に $a=x_1$ と $b=x_2$ は自然数である。また(1)より数列は5項ごとに繰り返すので，$$x_1=a,x_2=b,x_3=\frac{b+1}{a},x_4=\frac{a+b+1}{ab},x_5=\frac{a+1}{b}$$がすべて自然数であることが必要十分である。

$x_4=m$ とおくと，$m$ は自然数で$$a+b+1=mab$$である。まず $a=1$ のとき，$b+2=mb$ だから $(m-1)b=2$ であり，$(a,b)=(1,1),(1,2)$ を得る。同様に $b=1$ のとき，$(a,b)=(1,1),(2,1)$ を得る。

次に $a\geqq 2,b\geqq 2$ とする。このとき $m\mathrm{\ne }2,3,\dots$ なら左辺より右辺が大きくなり不可能であるから，$m=1$ である。よって$$ab=a+b+1$$すなわち$$(a-1)(b-1)=2$$である。したがって$$(a,b)=(2,3),(3,2)$$を得る。

得られた候補$$(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)$$では，いずれも $x_1$ から $x_5$ までが自然数であることを直接確認できる。よって求める組は$$(a,b)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)$$である。

5周期を確認した後、中央の項 $x_4=m$ を自然数とおく。方程式 $a+b+1=mab$ を積の形に変形し、$m$ の大きさごとに正の整数解を尽くす。

(1)
漸化式を順に用いると$$x_3=\frac{1+b}{a},x_4=\frac{1+a+b}{ab},x_5=\frac{1+a}{b}\mathrm{.}$$さらに$$x_6=\frac{1+x_5}{x_4}=a,x_7=\frac{1+x_6}{x_5}=b\mathrm{.}$$したがって$$x_6=a,x_7=b,$$かつ数列は5項を周期として繰り返す。

(2)
全項が自然数なら $a,b$ は自然数である。$x_4=m$ とおくと $m$ も自然数で$$\begin{array}{cccc}& a+b+1=mab\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)を積の形にすると$$\begin{array}{cccc}& (ma-1)(mb-1)=m+1.& & \text{(2)}\end{array}$$$m=1$ のとき、(2)は$$(a-1)(b-1)=2$$となるので$$(a,b)=(2,3),(3,2)\mathrm{.}$$$m=2$ のとき$$(2a-1)(2b-1)=3$$より$$(a,b)=(1,2),(2,1)\mathrm{.}$$$m=3$ のとき、左辺の2因子はともに2以上で積が4だから、両方が2である。よって$$(a,b)=(1,1)\mathrm{.}$$$m\geqq 4$ なら$$(ma-1)(mb-1)\geqq (m-1{)}^2>m+1$$となり、(2)に反する。以上の候補について1周期を計算すると$$\begin{array}{cc}(a,b)& (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\\ (1,1)& (1,1,2,3,2)\\ (1,2)& (1,2,3,2,1)\\ (2,1)& (2,1,1,2,3)\\ (2,3)& (2,3,2,1,1)\\ (3,2)& (3,2,1,1,2)\end{array}$$で、すべて自然数である。したがって求める組は$$(a,b)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\mathrm{.}$$