岡山大学 2019年度 前期文系数学 第2問

(1)
漸化式から$$x_3=\frac{1+b}{a},x_4=\frac{1+x_3}{x_2}=\frac{a+b+1}{ab},x_5=\frac{1+x_4}{x_3}=\frac{a+1}{b}$$である。したがって$$x_6=\frac{1+x_5}{x_4}=a,x_7=\frac{1+x_6}{x_5}=b$$を得る。

(2)
$a=2$ とすると，(1)の計算より$$x_1=2,x_2=b,x_3=\frac{b+1}{2},x_4=\frac{b+3}{2b},x_5=\frac{3}{b}$$であり，$x_6=x_1,x_7=x_2$ であるから，以後は周期的に繰り返す。よって $x_1$ から $x_5$ までがすべて自然数であることを調べればよい。

特に $x_2=b$ と $x_5=3\mathrm{/}b$ が自然数であるから，$b$ は $3$ の正の約数であり，$b=1,3$ に限られる。実際，$b=1$ のとき$$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(2,1,1,2,3),$$$b=3$ のとき$$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(2,3,2,1,1)$$で，いずれもすべて自然数である。したがって求める値は$$b=1,3$$である。

隣り合う2項への写像 $T(u,v)=(v,(1+v)\mathrm{/}u)$ を考え、5回作用させると元の組へ戻ることを直接示す。自然数条件はこの5周期のうち特に強い2項から候補を絞る。

(1)
隣り合う2項を$$T(u,v)=(v,\frac{1+v}{u})$$によって次の2項へ移すと考える。$(x_1,x_2)=(a,b)$ から順に計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x_2,x_3)}& {\displaystyle =(b,\frac{1+b}{a}),}\\ {\displaystyle (x_3,x_4)}& {\displaystyle =(\frac{1+b}{a},\frac{1+a+b}{ab}),}\\ {\displaystyle (x_4,x_5)}& {\displaystyle =(\frac{1+a+b}{ab},\frac{1+a}{b}),}\\ {\displaystyle (x_5,x_6)}& {\displaystyle =(\frac{1+a}{b},a),}\\ {\displaystyle (x_6,x_7)}& {\displaystyle =(a,b)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$x_6=a,x_7=b,$$さらに $x_{n+5}=x_n$ が成り立つ。

(2)
$a=2$ とすると、1周期は$$2,b,\frac{b+1}{2},\frac{b+3}{2b},\frac{3}{b}$$である。すべて自然数なら $b$ 自身が自然数で、かつ $3\mathrm{/}b$ も自然数である。よって$$b\mid 3$$であり、候補は $b=1,3$ に限られる。

$b=1$ の周期は$$2,1,1,2,3,$$$b=3$ の周期は$$2,3,2,1,1$$で、どちらも全項が自然数である。したがって$$b=1,3$$が求めるすべての値である。