岡山大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

$A$ と $B$ の二人がじゃんけんをする． $1$ 回ごとに，勝った方は $2$ 点，負けた方は $0$ 点，あいこの場合はどちらも $1$ 点ずつを得るものとする． $n$ 回目のじゃんけんを終えた時点での $A$ の得点の合計を $a_{n}, B$ の得点の合計を $b_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $a_{3} = 3$ となる確率を求めよ．

(2) $a_{5} = 5$ となる確率を求めよ．

(3) $a_{5} ≧ b_{5}$ となる確率を求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期理系第1問

方針

解法1

1回ごとの $A$ の得点を $0, 1, 2$ のいずれかと見て，それぞれ確率 $1/3$ であることを使う。小問(3)は各回の合計が $2$ 点であることから $b_{5} = 10 - a_{5}$ とし，分布の対称性で処理する。

解法2

1回の得点分布を多項式 $1 + X + X^{2}$ で表し、 $n$ 回後の合計点をその $n$ 乗の係数として数える。最後は係数の対称性を利用する。

解答

解法1

(1)

1回ごとの $A$ の得点は $0, 1, 2$ のいずれも確率 $\frac{1}{3}$ で起こる。3回の得点の和が $3$ になるのは，

1, 1, 1

または

0, 1, 2

を並べ替えた場合である。したがって場合の数は $1 + 6 = 7$ 通りで，求める確率は

\frac{7}{27}

である。

(2)

5回の得点の和が $5$ になる場合を数える。 $1$ 点を基準にして， $0$ 点を $- 1$ ， $2$ 点を $+ 1$ と見れば，5個の値の和が $0$ になる場合である。 $+ 1$ と $- 1$ がそれぞれ $j$ 個ずつあるとして， $j = 0, 1, 2$ を調べると，場合の数は

1 + 20 + 30 = 51

である。よって求める確率は

\frac{51}{3 ^{5}} = \frac{17}{81}

である。

(3)

各回で二人の得点の合計は $2$ 点であるから， $a_{5} + b_{5} = 10$ である。したがって

a_{5} ≧ b_{5} ⟺ a_{5} ≧ 5

である。 $A$ と $B$ を入れ替えると $a_{5} < 5$ と $a_{5} > 5$ は同じ確率で起こるので，(2)より

P (a_{5} ≧ 5) = \frac{1 + P ( a _{5} = 5 )}{2} = \frac{1 + \frac{17}{81}}{2} = \frac{49}{81}

である。

解法2

(1)

1回の $A$ の得点 $0, 1, 2$ は等確率なので、得点の数え上げ多項式は

1 + X + X^{2}

である。3回の合計点が3となる場合の数は $(1 + X + X^{2})^{3}$ の $X^{3}$ の係数である。

(1 + X + X^{2})^{3} = 1 + 3 X + 6 X^{2} + 7 X^{3} + 6 X^{4} + 3 X^{5} + X^{6}

より、求める確率は

\frac{7}{3 ^{3}} = \frac{7}{27} .

(2)

同様に、5回の合計点が5となる場合の数は $(1 + X + X^{2})^{5}$ の $X^{5}$ の係数である。0点と2点の回数は等しくなければならない。その共通の回数を $j$ とすると $j = 0, 1, 2$ であり、係数は

\frac{5 !}{0 ! 0 ! 5 !} + \frac{5 !}{1 ! 1 ! 3 !} + \frac{5 !}{2 ! 2 ! 1 !} = 1 + 20 + 30 = 51.

したがって

P (a_{5} = 5) = \frac{51}{3 ^{5}} = \frac{17}{81} .

(3)

多項式 $(1 + X + X^{2})^{5}$ の係数は、次数 $k$ と $10 - k$ で等しい。よって合計点が5未満の場合と5より大きい場合は同数である。全 $3^{5}$ 通りのうち、5点以上の場合の数は

\frac{3 ^{5} + 51}{2} = 147.

各回で $a_{5} + b_{5} = 10$ だから、 $a_{5} ≧ b_{5}$ は $a_{5} ≧ 5$ と同値である。ゆえに

P (a_{5} ≧ b_{5}) = \frac{147}{3 ^{5}} = \frac{49}{81} .

岡山大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2019年度
理系数学第1問