岡山大学 2019年度 前期理系数学 第1問

(1)
1回ごとの $A$ の得点は $0,1,2$ のいずれも確率 $\frac{1}{3}$ で起こる。3回の得点の和が $3$ になるのは，$$1,1,1$$または$$0,1,2$$を並べ替えた場合である。したがって場合の数は $1+6=7$ 通りで，求める確率は$$\frac{7}{27}$$である。

(2)
5回の得点の和が $5$ になる場合を数える。$1$ 点を基準にして，$0$ 点を $-1$，$2$ 点を $+1$ と見れば，5個の値の和が $0$ になる場合である。$+1$ と $-1$ がそれぞれ $j$ 個ずつあるとして，$j=0,1,2$ を調べると，場合の数は$$1+20+30=51$$である。よって求める確率は$$\frac{51}{3^5}=\frac{17}{81}$$である。

(3)
各回で二人の得点の合計は $2$ 点であるから，$a_5+b_5=10$ である。したがって$$a_5\geqq b_5⟺a_5\geqq 5$$である。$A$ と $B$ を入れ替えると $a_5<5$ と $a_5>5$ は同じ確率で起こるので，(2)より$$P(a_5\geqq 5)=\frac{1+P(a_5=5)}{2}=\frac{1+\frac{17}{81}}{2}=\frac{49}{81}$$である。

1回の得点分布を多項式 $1+X+X^2$ で表し、$n$ 回後の合計点をその $n$ 乗の係数として数える。最後は係数の対称性を利用する。

(1)
1回の $A$ の得点 $0,1,2$ は等確率なので、得点の数え上げ多項式は$$1+X+X^2$$である。3回の合計点が3となる場合の数は $(1+X+X^2{)}^3$ の $X^3$ の係数である。$$(1+X+X^2{)}^3=1+3X+6X^2+7X^3+6X^4+3X^5+X^6$$より、求める確率は$$\frac{7}{3^3}=\frac{7}{27}\mathrm{.}$$(2)
同様に、5回の合計点が5となる場合の数は $(1+X+X^2{)}^5$ の $X^5$ の係数である。0点と2点の回数は等しくなければならない。その共通の回数を $j$ とすると $j=0,1,2$ であり、係数は$$\frac{5!}{0!0!5!}+\frac{5!}{1!1!3!}+\frac{5!}{2!2!1!}=1+20+30=51.$$したがって$$P(a_5=5)=\frac{51}{3^5}=\frac{17}{81}\mathrm{.}$$(3)
多項式 $(1+X+X^2{)}^5$ の係数は、次数 $k$ と $10-k$ で等しい。よって合計点が5未満の場合と5より大きい場合は同数である。全 $3^5$ 通りのうち、5点以上の場合の数は$$\frac{3^5+51}{2}=147.$$各回で $a_5+b_5=10$ だから、$a_5\geqq b_5$ は $a_5\geqq 5$ と同値である。ゆえに$$P(a_5\geqq b_5)=\frac{147}{3^5}=\frac{49}{81}\mathrm{.}$$