岡山大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

次の $3$ つの等式

z \overline{w} = \overline{z} w,

∣ z - 1∣ = 1,

∣ z - w ∣ = 2

を満たす複素数 $z, w$ について，以下の問いに答えよ．ただし $z \neq = 0$ とし， $z$ の偏角を $θ$ と表す．

(1) 複素数平面において $3$ 点 $0,$ $z, w$ は一直線上にあることを示せ．

(2) $z$ と $w$ を $θ$ を用いて表せ．

(3) $θ$ は $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ の範囲を動くとする．このとき $w$ のとりうる値について，その虚部の最大の値を求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期理系第3問

方針

解法1

まず $z \overline{w} = \overline{z} w$ を実部虚部で比較して，原点から見た $z, w$ の方向が同一直線上にあることを示す。次に $z$ を偏角 $θ$ と絶対値で表し，円 $∣ z - 1∣ = 1$ から絶対値を求める。 $w$ は同一直線上で $z$ から距離 $2$ の点として2通り表し，虚部の最大値を調べる。

解法2

商 $w / z$ が実数であることを直接示して、 $z, w$ を同じ方向の実数倍として扱う。円条件を極形式で解き、虚部の最大化には半角公式を用いる。

解答

解法1

(1)

$z = a + bi, w = c + d i$ とおく。条件 $z \overline{w} = \overline{z} w$ の虚部を比較すると

b c - a d = a d - b c

であるから， $a d = b c$ である。したがってベクトル $(a, b)$ と $(c, d)$ は平行であり，複素数平面において $0, z, w$ は一直線上にある。

(2)

$z \neq = 0$ で， $z$ の偏角が $θ$ であるから，ある正の実数 $r$ を用いて

z = r (cos θ + i sin θ)

と書ける。 $∣ z - 1∣ = 1$ より

r^{2} - 2 r cos θ + 1 = 1

である。 $r > 0$ だから

r = 2 cos θ

となる。よって

z = 2 cos θ (cos θ + i sin θ)

である。

(1)より $w = s (cos θ + i sin θ)$ と書ける。ただし $s$ は実数である。さらに $∣ z - w ∣ = 2$ だから

∣2 cos θ - s ∣ = 2

であり，

s = 2 cos θ + 2, 2 cos θ - 2

である。したがって

w = 2 (cos θ + 1) (cos θ + i sin θ)

または

w = 2 (cos θ - 1) (cos θ + i sin θ)

である。

(3)

(2)の2通りのうち，後者の虚部は

2 (cos θ - 1) sin θ ≦ 0

である。前者の虚部を

F (θ) = 2 (1 + cos θ) sin θ

とおく。 $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ において

F^{'} (θ) = 2 {2 cos^{2} θ + cos θ - 1} = 2 (2 cos θ - 1) (cos θ + 1)

である。よって $F (θ)$ は $θ = \frac{π}{3}$ で最大となり，その値は

F (\frac{π}{3}) = 2 (1 + \frac{1}{2}) \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2}

である。したがって虚部の最大値は

\frac{3 3}{2}

である。

解法2

(1)

$z \neq = 0$ なので

\frac{w}{z} = \frac{w z}{∣ z ∣ ^{2}} .

仮定 $z \overline{w} = \overline{z} w$ より、 $w \overline{z}$ はその共役と等しく実数である。したがって $w / z$ は実数であり、 $w$ は $z$ の実数倍である。ゆえに $0, z, w$ は一直線上にある。

(2)

極形式で

z = r e^{i θ} (r > 0)

とおく。 $∣ z - 1∣ = 1$ を2乗すると

r^{2} - 2 r cos θ = 0.

よって

r = 2 cos θ, z = 2 cos θ e^{i θ} .

また $w = λ e^{i θ}$ と書けば $λ$ は実数で

∣ z - w ∣ = ∣2 cos θ - λ ∣ = 2.

したがって

w = 2 (cos θ + 1) e^{i θ} または w = 2 (cos θ - 1) e^{i θ} .

(3)

$0 ≦ θ < π /2$ では第2の枝の虚部は0以下なので、最大値は第1の枝で調べればよい。その虚部は

Y = 2 (1 + cos θ) sin θ .

$u = θ /2$ とおくと

Y = 8 sin u cos^{3} u (0 ≦ u < \frac{π}{4}) .

ここで

\frac{d}{d u} {sin u cos^{3} u} = cos^{2} u (1 - 4 sin^{2} u) .

よって最大となるのは $sin u = 1/2$ 、すなわち $u = π /6$ 、 $θ = π /3$ のときである。したがって

Y_{m a x} = 8 \cdot \frac{1}{2} (\frac{3}{2})^{3} = \frac{3 3}{2} .

岡山大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2019年度
理系数学第3問