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岡山大学 2019年度 前期 数学I・II・A・B／数学I理系数学 第3問

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，辺OAの中点をD,辺OBを1:3に内分する点をE,辺OCを1:3に内分する点をFとする．△DEFの重心をGとし，直線OGと△ABCの交点をHとする．以下の問いに答えよ．

(1) ベクトルOG→をOA→,OB→,OC→を用いて表せ．

(2) 線分AHの長さを求めよ．

難易度5/ 10計算量5/ 10目安15分

ベクトル　ベクトル成分計算、内積の利用、座標設定

方針

OA→,OB→,OC→ を基準のベクトルとして，D,E,F と重心 G の位置ベクトルを表す。H は平面 ABC 上にあるので，OH→ の係数和が 1 になることを用いて H を求め，最後は正四面体の内積を使って AH を計算する。

解答

(1) OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗ とおく。条件よりOD→=12a⃗,OE→=14b⃗,OF→=14c⃗である。G は △DEF の重心であるからOG→=13(12a⃗+14b⃗+14c⃗)=16a⃗+112b⃗+112c⃗である。

(2)
直線 OG 上の点は λOG→ と表される。点が平面 ABC 上にあるためには，a⃗,b⃗,c⃗ の係数の和が 1 であればよい。したがってλ(16+112+112)=1より λ=3 である。よってOH→=12a⃗+14b⃗+14c⃗となる。

正四面体の一辺の長さは 1 であるから∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=1,a⃗⋅b⃗=b⃗⋅c⃗=c⃗⋅a⃗=12である。したがってAH→=OH→−a⃗=−12a⃗+14b⃗+14c⃗よりAH2=14+116+116−18−18+116=316である。よってAH=34である。

別解

解法2

方針

重心と平面の係数和から H の内分比を出し、H が正三角形 ABC の中線の中点であることを読む。長さは空間内積ではなく、正三角形の高さで求める。

解答

(1) OD→=12OA→,OE→=14OB→,OF→=14OC→.G は △DEF の重心なのでOG→=13(12OA→+14OB→+14OC→)=16OA→+112OB→+112OC→.(2)
直線 OG 上で平面 ABC に達するまで、各係数は同じ倍率で増える。平面 ABC 上では3係数の和が1だから、その倍率は(16+112+112)−1=3.したがってOH→=12OA→+14OB→+14OC→.辺 BC の中点を M とすればOM→=12OB→+12OC→,よってOH→=12OA→+12OM→.これは H が線分 AM の中点であることを表す。正三角形 ABC の一辺は1なのでAM=32.ゆえにAH=12AM=34.

総評

難度5，計算量5。想定時間は15分程度。位置ベクトルの係数和で平面 ABC との交点を決めるところが中心である。その後は内積計算だけでなく、H が正三角形の中線 AM の中点だと読むと長さが一気に求まる。空間図では D,E,F,G と、面 ABC 上の H を混同しないことが重要である。

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出典: 岡山大学 2019年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。