岡山大学 2020年度 前期文系数学 第2問

(1) $$u=f(1),v=f(-1),w=f(0)$$とおくと$$u=a+b+c,v=a-b+c,w=c\mathrm{.}$$したがって$$a=\frac{u+v-2w}{2},b=\frac{u-v}{2},c=w\mathrm{.}$$すなわち$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle =\frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2},}\\ {\displaystyle b}& {\displaystyle =\frac{f(1)-f(-1)}{2},}\\ {\displaystyle c}& {\displaystyle =f(0)}\end{array}$$である。

(2)

$u,v,w$ は整数で絶対値が1以下だから、いずれも $-1,0,1$ のどれかである。また $b$ が整数なので、$u,v$ の偶奇は一致する。

$u=v=0$ のとき、$a=-w\text{neqq}0$ より$$f(x)=x^2-1,-x^2+1.$$$u=v=1$ のとき、$a=1-w\text{neqq}0$ より$$f(x)=x^2,2x^2-1.$$$u=v=-1$ のとき、$a=-1-w\text{neqq}0$ より$$f(x)=-x^2,-2x^2+1.$$残る $(u,v)=(1,-1),(-1,1)$ では $w=\pm 1$ であり、候補は$$-x^2+x+1,x^2+x-1,-x^2-x+1,x^2-x-1.$$これらはそれぞれ $x=\pm 1\mathrm{/}2$ のいずれかで値の絶対値が $5\mathrm{/}4$ となるため不適である。

よって求める関数は$$f(x)=\pm x^2,f(x)=\pm (x^2-1),f(x)=\pm (2x^2-1)$$である。

端点条件から $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }\leqq 2$、$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }\leqq 2$ を得て、整数 $a$ を $\pm 1,\pm 2$ に限定する。各 $a$ について $c=f(0)$ と端点条件を調べ、$b=\pm 1$ の候補だけ頂点付近で除外する。

(1)

3点の値を連立すれば$$a=\frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2},b=\frac{f(1)-f(-1)}{2},c=f(0)\mathrm{.}$$(2)

端点と中央の条件から$$\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(1)-f(0)\mathrm{\mid }\leqq 2,\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(-1)-f(0)\mathrm{\mid }\leqq 2.$$よって$$2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }\leqq 4.$$$a$ は0でない整数だから$$a=\pm 1,\pm 2$$に限られる。

$a=2$ では、$f(1),f(-1)\in \{-1,0,1\}$ より $c=-1,b=0$ だけが残り、$f(x)=2x^2-1$ である。$a=-2$ も同様に $f(x)=-2x^2+1$ である。

$a=1$ では、端点条件から$$f(x)=x^2,x^2-1,x^2+x-1,x^2-x-1$$が候補となる。しかし後ろ2つは $x=-1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2$ で値が $-5\mathrm{/}4$ となるので除かれる。$a=-1$ では符号を反転した候補が得られ、同じ理由で$$-x^2,-x^2+1$$だけが残る。

したがって$$f(x)=\pm x^2,f(x)=\pm (x^2-1),f(x)=\pm (2x^2-1)\mathrm{.}$$