岡山大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a, b, c$ を整数とし、2次関数

f (x) = a x^{2} + b x + c

を考える。ただし $a \neq = 0$ である。 $∣ x ∣ ≦ 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $∣ f (x) ∣ ≦ 1$ が成り立つとする。次の問いに答えよ。

(1) $a, b, c$ を $f (1), f (- 1), f (0)$ を用いて表せ。

(2) $f (x)$ をすべて求めよ。

出典：岡山大学 2020年度前期文系第2問

方針

解法1（3点の値を整数として分類する）

$u = f (1), v = f (- 1), w = f (0)$ とおく。3数は $- 1, 0, 1$ のいずれかであり、係数の復元式と整数条件から候補を絞る。端点の値が異符号となる4候補は区間内部で絶対値が1を超えることを確認して除く。

解法2（係数の大きさから直接絞る）

端点条件から $∣ a + b ∣ ≦ 2$ 、 $∣ a - b ∣ ≦ 2$ を得て、整数 $a$ を $\pm 1, \pm 2$ に限定する。各 $a$ について $c = f (0)$ と端点条件を調べ、 $b = \pm 1$ の候補だけ頂点付近で除外する。

解答

解法1（3点の値を整数として分類する）

(1)

u = f (1), v = f (- 1), w = f (0)

とおくと

u = a + b + c, v = a - b + c, w = c .

したがって

a = \frac{u + v - 2 w}{2}, b = \frac{u - v}{2}, c = w .

すなわち

a b c = \frac{f ( 1 ) + f ( - 1 ) - 2 f ( 0 )}{2}, = \frac{f ( 1 ) - f ( - 1 )}{2}, = f (0)

である。

(2)

$u, v, w$ は整数で絶対値が1以下だから、いずれも $- 1, 0, 1$ のどれかである。また $b$ が整数なので、 $u, v$ の偶奇は一致する。

$u = v = 0$ のとき、 $a = - w \neq = 0$ より

f (x) = x^{2} - 1, - x^{2} + 1.

$u = v = 1$ のとき、 $a = 1 - w \neq = 0$ より

f (x) = x^{2}, 2 x^{2} - 1.

$u = v = - 1$ のとき、 $a = - 1 - w \neq = 0$ より

f (x) = - x^{2}, - 2 x^{2} + 1.

残る $(u, v) = (1, - 1), (- 1, 1)$ では $w = \pm 1$ であり、候補は

- x^{2} + x + 1, x^{2} + x - 1, - x^{2} - x + 1, x^{2} - x - 1.

これらはそれぞれ $x = \pm 1/2$ のいずれかで値の絶対値が $5/4$ となるため不適である。

よって求める関数は

f (x) = \pm x^{2}, f (x) = \pm (x^{2} - 1), f (x) = \pm (2 x^{2} - 1)

である。

解法2（係数の大きさから直接絞る）

(1)

3点の値を連立すれば

a = \frac{f ( 1 ) + f ( - 1 ) - 2 f ( 0 )}{2}, b = \frac{f ( 1 ) - f ( - 1 )}{2}, c = f (0) .

(2)

端点と中央の条件から

∣ a + b ∣ = ∣ f (1) - f (0) ∣ ≦ 2, ∣ a - b ∣ = ∣ f (- 1) - f (0) ∣ ≦ 2.

よって

2∣ a ∣ ≦ ∣ a + b ∣ + ∣ a - b ∣ ≦ 4.

$a$ は0でない整数だから

a = \pm 1, \pm 2

に限られる。

$a = 2$ では、 $f (1), f (- 1) \in {- 1, 0, 1}$ より $c = - 1, b = 0$ だけが残り、 $f (x) = 2 x^{2} - 1$ である。 $a = - 2$ も同様に $f (x) = - 2 x^{2} + 1$ である。

$a = 1$ では、端点条件から

f (x) = x^{2}, x^{2} - 1, x^{2} + x - 1, x^{2} - x - 1

が候補となる。しかし後ろ2つは $x = - 1/2, 1/2$ で値が $- 5/4$ となるので除かれる。 $a = - 1$ では符号を反転した候補が得られ、同じ理由で

- x^{2}, - x^{2} + 1

だけが残る。

したがって

f (x) = \pm x^{2}, f (x) = \pm (x^{2} - 1), f (x) = \pm (2 x^{2} - 1) .

岡山大学 2020年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（3点の値を整数として分類する）

解法2（係数の大きさから直接絞る）

解答

解法1（3点の値を整数として分類する）

(1)

(2)

解法2（係数の大きさから直接絞る）

(1)

(2)

岡山大学 2020年度
文系数学第2問