岡山大学 2020年度文系数学第4問解答・解説

問題

実数 $s$ に対し、関数 $f (x)$ が

f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ - s - x \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {f (t) - ∣ t ∣} d t

を満たしている。次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f (x)$ を求めよ。

(2) $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸が異なる3点で交わるような $s$ の範囲を求めよ。

(3) $s$ が (2) の範囲にあるとする。 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $A (s)$ を求めよ。

(4) $A (s)$ を最小にする $s$ を求めよ。

出典：岡山大学 2020年度前期文系第4問

方針

解法1（積分を未知定数として決定する）

積分全体を定数 $C$ とおき、得られた $f (t)$ を定義式へ戻して $C$ を自己決定する。絶対値は $x = 0, 1$ を境に外し、3つの零点と符号を図で整理してから面積を表示積分で計算する。

解法2（奇関数の対称性と因数形を使う）

$∣ t^{2} - t ∣ - ∣ t ∣$ が積分区間上で奇関数になることを利用し、積分定数を一行で決める。面積は零点を示す因数形のまま積分し、最小性は差を平方因子で表して微分とは独立に確認する。

解答

解法1（積分を未知定数として決定する）

(1)

積分全体を

C = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {f (t) - ∣ t ∣} d t

とおく。もとの等式は

f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ - s - C x

となる。これを $C$ の定義へ代入すると

C = \int_{- \frac{1}{2}}^{0} (t^{2} - s - C t) d t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} - s - C t) d t = - s .

ここでは、2つの $t^{2}$ の積分が打ち消し合い、 $- C t$ の積分も対称区間上で0になることを用いた。したがって

f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ + s (x - 1)

である。

(2)

絶対値を外すと

f (x) = {(x - 1) (x + s) - (x - 1) (x - s) (x ≦ 0 または 1 ≦ x), (0 ≦ x ≦ 1)

となる。 $x = 1$ は常に零点である。ほかの零点 $x = - s$ が $x ≦ 0$ にあり、 $x = s$ が $0 ≦ x ≦ 1$ にあり、しかも3点が異なるための条件は

0 < s < 1

である。

(3)

$0 < s < 1$ のとき零点は $- s, s, 1$ であり、符号と囲まれる部分は次図のようになる。

よって面積は

A (s) = - \int_{- s}^{0} (x - 1) (x + s) d x - \int_{0}^{s} {- (x - 1) (x - s)} d x + \int_{s}^{1} {- (x - 1) (x - s)} d x .

前半2つの和は $s^{2}$ 、最後の積分は $(1 - s)^{3} /6$ だから

A (s) = s^{2} + \frac{( 1 - s ) ^{3}}{6}

である。

(4)

微分すると

A^{'} (s) = 2 s - \frac{( 1 - s ) ^{2}}{2}, A^{''} (s) = 3 - s .

$0 < s < 1$ では $A^{''} (s) > 0$ である。停留条件は

4 s = (1 - s)^{2},

すなわち

s = 3 \pm 22 .

このうち $0 < s < 1$ に入るのは

s = 3 - 22

だけであり、この値で $A (s)$ は最小となる。

解法2（奇関数の対称性と因数形を使う）

(1)

再び

C = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {f (t) - ∣ t ∣} d t

とおくと

f (t) - ∣ t ∣ = {∣ t^{2} - t ∣ - ∣ t ∣} - s - C t .

区間 $[- 1/2, 1/2]$ では

∣ t^{2} - t ∣ - ∣ t ∣ = {t^{2} - t^{2} (- 1/2 ≦ t ≦ 0), (0 ≦ t ≦ 1/2)

であり、これは奇関数である。 $- C t$ も奇関数だから、対称区間上の積分はどちらも0である。区間の長さは1なので

C = - s .

したがって

f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ + s (x - 1)

を得る。

(2)

$x ≦ 0$ と $0 ≦ x ≦ 1$ でそれぞれ

f (x) = (x - 1) (x + s), f (x) = - (x - 1) (x - s)

である。零点候補 $- s, s, 1$ がそれぞれ所定の区間に属し、相異なるための必要十分条件は

0 < s < 1

である。

(3)

負の部分の2つの面積を別々に計算すると

- \int_{- s}^{0} (x - 1) (x + s) d x = \frac{s ^{2}}{2} + \frac{s ^{3}}{6},

- \int_{0}^{s} {- (x - 1) (x - s)} d x = \frac{s ^{2}}{2} - \frac{s ^{3}}{6} .

したがって両者の和は $s^{2}$ である。また、根が $s, 1$ の下に凸の2次関数の面積を計算して

\int_{s}^{1} - (x - 1) (x - s) d x = \frac{( 1 - s ) ^{3}}{6} .

よって

A (s) = s^{2} + \frac{( 1 - s ) ^{3}}{6} .

(4)

s_{0} = 3 - 22

とおく。直接展開すると

A (s) - A (s_{0}) = \frac{( s - s _{0} ) ^{2}}{6} {3 + 42 - s} .

$0 < s < 1$ では右辺の最後の因子も正であるから

A (s) ≧ A (s_{0})

であり、等号は $s = s_{0}$ のときに限る。したがって最小値を与える値は

s = 3 - 22

である。

岡山大学 2020年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（積分を未知定数として決定する）

解法2（奇関数の対称性と因数形を使う）

解答

解法1（積分を未知定数として決定する）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（奇関数の対称性と因数形を使う）

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2020年度
文系数学第4問