岡山大学 2020年度 前期文系数学 第4問

(1)

積分全体を$$C={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\{f(t)-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\}dt$$とおく。もとの等式は$$f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-x\mathrm{\mid }-s-Cx$$となる。これを $C$ の定義へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle ={\int }_{-\frac{1}{2}}^0(t^2-s-Ct)dt+{\int }_0^{\frac{1}{2}}(-t^2-s-Ct)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-s\mathrm{.}}\end{array}$$ここでは、2つの $t^2$ の積分が打ち消し合い、$-Ct$ の積分も対称区間上で0になることを用いた。したがって$$f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-x\mathrm{\mid }+s(x-1)$$である。

(2)

絶対値を外すと$$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1)(x+s)& (x\leqq 0\text{ または }1\leqq x),\\ -(x-1)(x-s)& (0\leqq x\leqq 1)\end{array}$$となる。$x=1$ は常に零点である。ほかの零点 $x=-s$ が $x\leqq 0$ にあり、$x=s$ が $0\leqq x\leqq 1$ にあり、しかも3点が異なるための条件は$$0<s<1$$である。

(3)

$0<s<1$ のとき零点は $-s,s,1$ であり、符号と囲まれる部分は次図のようになる。

よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(s)=}& {\displaystyle -{\int }_{-s}^0(x-1)(x+s)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\int }_0^s\{-(x-1)(x-s)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_s^1\{-(x-1)(x-s)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$前半2つの和は $s^2$、最後の積分は $(1-s{)}^3\mathrm{/}6$ だから$$A(s)=s^2+\frac{(1-s{)}^3}{6}$$である。

(4)

微分すると$$A^{\mathrm{\prime }}(s)=2s-\frac{(1-s{)}^2}{2},A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)=3-s\mathrm{.}$$$0<s<1$ では $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)>0$ である。停留条件は$$4s=(1-s{)}^2,$$すなわち$$s=3\pm 2\sqrt{2}\mathrm{.}$$このうち $0<s<1$ に入るのは$$s=3-2\sqrt{2}$$だけであり、この値で $A(s)$ は最小となる。

$\mathrm{\mid }{t}^2-t\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$ が積分区間上で奇関数になることを利用し、積分定数を一行で決める。面積は零点を示す因数形のまま積分し、最小性は差を平方因子で表して微分とは独立に確認する。

(1)

再び$$C={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\{f(t)-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\}dt$$とおくと$$f(t)-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=\{\mathrm{\mid }{t}^2-t\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\}-s-Ct\mathrm{.}$$区間 $[-1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2]$ では$$\mathrm{\mid }{t}^2-t\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}{t}^2& (-1\mathrm{/}2\leqq t\leqq 0),\\ -t^2& (0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}2)\end{array}$$であり、これは奇関数である。$-Ct$ も奇関数だから、対称区間上の積分はどちらも0である。区間の長さは1なので$$C=-s\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-x\mathrm{\mid }+s(x-1)$$を得る。

(2)

$x\leqq 0$ と $0\leqq x\leqq 1$ でそれぞれ$$f(x)=(x-1)(x+s),f(x)=-(x-1)(x-s)$$である。零点候補 $-s,s,1$ がそれぞれ所定の区間に属し、相異なるための必要十分条件は$$0<s<1$$である。

(3)

負の部分の2つの面積を別々に計算すると$$-{\int }_{-s}^0(x-1)(x+s)dx=\frac{s^2}{2}+\frac{s^3}{6},$$$$-{\int }_0^s\{-(x-1)(x-s)\}dx=\frac{s^2}{2}-\frac{s^3}{6}\mathrm{.}$$したがって両者の和は $s^2$ である。また、根が $s,1$ の下に凸の2次関数の面積を計算して$${\int }_s^1-(x-1)(x-s)dx=\frac{(1-s{)}^3}{6}\mathrm{.}$$よって$$A(s)=s^2+\frac{(1-s{)}^3}{6}\mathrm{.}$$(4)$$s_0=3-2\sqrt{2}$$とおく。直接展開すると$$A(s)-A(s_0)=\frac{(s-s_0{)}^2}{6}\{3+4\sqrt{2}-s\}\mathrm{.}$$$0<s<1$ では右辺の最後の因子も正であるから$$A(s)\geqq A(s_0)$$であり、等号は $s=s_0$ のときに限る。したがって最小値を与える値は$$s=3-2\sqrt{2}$$である。