岡山大学 2020年度 前期理系数学 第4問

(1)

$P=(x,y)\in C_1$ とすると$$y^2=\frac{x^2}{4}+1.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2}& {\displaystyle =(x-a{)}^2+y^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{4}{x}^2-2ax+a^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{4}{(x-\frac{4a}{5})}^2+\frac{a^2}{5}+1.}\end{array}$$よって最小にする点は$$P=(\frac{4a}{5},\pm \frac{\sqrt{4a^2+25}}{5})$$の2点であり、最小値は$$\sqrt{\frac{a^2}{5}+1}$$である。

(2)

$P=(x,y)\in C_2$ とすると$$y^2=\frac{x^2}{4}-1,x\leqq -2\text{ または }x\geqq 2.$$このとき$$A{P}^2=\frac{5}{4}{(x-\frac{4a}{5})}^2+\frac{a^2}{5}-1.$$$a>0$ だから、同じ $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ なら右側の枝の方が点 $A$ に近い。よって $x\geqq 2$ だけを調べればよい。

軸 $x=4a\mathrm{/}5$ が $x<2$ にある、すなわち $0<a<5\mathrm{/}2$ のときは端点 $x=2$ で最小となる。$a=5\mathrm{/}2$ でも同じ点で最小となる。したがって$$0<a\leqq \frac{5}{2}:P=(2,0),\min AP=\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$一方、$a>5\mathrm{/}2$ では軸が右側の枝に入るので$$P=(\frac{4a}{5},\pm \frac{\sqrt{4a^2-25}}{5}),$$$$\min AP=\sqrt{\frac{a^2}{5}-1}\mathrm{.}$$(3)

2つの双曲線と点 $A$ の位置関係は次図のようになる。

点 $(2,0)$ が $C_2$ 上で最短点となるためには$$0<a\leqq \frac{5}{2}$$が必要十分である。さらに、$C_1$ 上のどの点よりも遠くないための条件は$$\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{\frac{a^2}{5}+1}\mathrm{.}$$両辺は非負なので2乗してよく、整理すると$$4a^2-20a+15\leqq 0.$$その解は$$\frac{5-\sqrt{10}}{2}\leqq a\leqq \frac{5+\sqrt{10}}{2}\mathrm{.}$$これと $0<a\leqq 5\mathrm{/}2$ の共通部分を取って$$\frac{5-\sqrt{10}}{2}\leqq a\leqq \frac{5}{2}$$を得る。

滑らかな点で距離が最小になるとき、線分 $AP$ は双曲線の接線に垂直である。双曲線の法線ベクトルと $\overrightarrow{AP}$ の平行条件から候補の $x$ 座標を直接求め、$C_2$ では頂点 $(2,0)$ との場合分けを行う。

(1)

$C_1$ の点 $P=(x,y)$ では $y\text{neqq}0$ である。曲線$$x^2-4y^2=-4$$の法線ベクトルは $(x,-4y)$ と平行である。最短点では $AP$ が接線に垂直だから、ある実数 $\lambda$ により$$(x-a,y)=\lambda (x,-4y)\mathrm{.}$$第2成分と $y\text{neqq}0$ から $\lambda =-1\mathrm{/}4$ であり、第1成分から$$x-a=-\frac{x}{4},x=\frac{4a}{5}\mathrm{.}$$双曲線の式へ戻すと$$y=\pm \frac{\sqrt{4a^2+25}}{5}\mathrm{.}$$距離は$$AP=\sqrt{\frac{a^2}{5}+1}$$である。

(2)

$C_2$ の枝の内部、すなわち $y\text{neqq}0$ の最短候補にも同じ法線条件を適用できる。したがって$$x=\frac{4a}{5}\mathrm{.}$$この候補が右側の枝 $x\geqq 2$ にあるのは$$a\geqq \frac{5}{2}$$のときである。$a>5\mathrm{/}2$ なら最短点と距離は$$P=(\frac{4a}{5},\pm \frac{\sqrt{4a^2-25}}{5}),AP=\sqrt{\frac{a^2}{5}-1}\mathrm{.}$$$0<a\leqq 5\mathrm{/}2$ では内部の停留点が枝にないため、右枝の頂点$$P=(2,0)$$で最小となり、距離は $\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }$ である。負の枝は、同じ高さの正の枝より $A=(a,0)$ から遠いので最小候補にはならない。

(3)

$(2,0)$ が全体の最短点となる条件は$$0<a\leqq \frac{5}{2}$$かつ$$(a-2{)}^2\leqq \frac{a^2}{5}+1$$である。後者を整理すると$$4a^2-20a+15\leqq 0,$$よって$$\frac{5-\sqrt{10}}{2}\leqq a\leqq \frac{5+\sqrt{10}}{2}\mathrm{.}$$2条件の共通部分は$$\frac{5-\sqrt{10}}{2}\leqq a\leqq \frac{5}{2}$$である。