岡山大学 2020年度理系数学第4問解答・解説

問題

正の数 $a$ に対し、点 $A = (a, 0)$ と2つの双曲線

C_{1} : x^{2} - 4 y^{2} = - 4, C_{2} : x^{2} - 4 y^{2} = 4

を考える。次の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ が $C_{1}$ 上を動くとき、 $A P$ を最小にする点 $P$ と、その最小値を求めよ。

(2) 点 $P$ が $C_{2}$ 上を動くとき、 $A P$ を最小にする点 $P$ と、その最小値を求めよ。

(3) 点 $P$ が $C_{1} \cup C_{2}$ 上を動くとする。点 $(2, 0)$ が $A P$ の最小値を与える点となるような $a$ の範囲を求めよ。

出典：岡山大学 2020年度前期理系第4問

方針

解法1（距離の2乗を1変数の2次式にする）

$P = (x, y)$ とおき、各双曲線の式から $y^{2}$ を消去する。 $A P^{2}$ は $x$ の2次式になるので、その軸と各枝の定義域を比較する。最後は $(2, 0)$ までの距離と $C_{1}$ までの最短距離を比較する。

解法2（最短線分が接線の法線になることを使う）

滑らかな点で距離が最小になるとき、線分 $A P$ は双曲線の接線に垂直である。双曲線の法線ベクトルと $A P$ の平行条件から候補の $x$ 座標を直接求め、 $C_{2}$ では頂点 $(2, 0)$ との場合分けを行う。

解答

解法1（距離の2乗を1変数の2次式にする）

(1)

$P = (x, y) \in C_{1}$ とすると

y^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + 1.

したがって

A P^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 2 a x + a^{2} + 1 = \frac{5}{4} (x - \frac{4 a}{5})^{2} + \frac{a ^{2}}{5} + 1.

よって最小にする点は

P = (\frac{4 a}{5}, \pm \frac{4 a ^{2} + 25}{5})

の2点であり、最小値は

\frac{a ^{2}}{5} + 1

である。

(2)

$P = (x, y) \in C_{2}$ とすると

y^{2} = \frac{x ^{2}}{4} - 1, x ≦ - 2 または x ≧ 2.

このとき

A P^{2} = \frac{5}{4} (x - \frac{4 a}{5})^{2} + \frac{a ^{2}}{5} - 1.

$a > 0$ だから、同じ $∣ x ∣$ なら右側の枝の方が点 $A$ に近い。よって $x ≧ 2$ だけを調べればよい。

軸 $x = 4 a /5$ が $x < 2$ にある、すなわち $0 < a < 5/2$ のときは端点 $x = 2$ で最小となる。 $a = 5/2$ でも同じ点で最小となる。したがって

0 < a ≦ \frac{5}{2} : P = (2, 0), min A P = ∣ a - 2∣.

一方、 $a > 5/2$ では軸が右側の枝に入るので

P = (\frac{4 a}{5}, \pm \frac{4 a ^{2} - 25}{5}),

min A P = \frac{a ^{2}}{5} - 1 .

(3)

2つの双曲線と点 $A$ の位置関係は次図のようになる。

点 $(2, 0)$ が $C_{2}$ 上で最短点となるためには

0 < a ≦ \frac{5}{2}

が必要十分である。さらに、 $C_{1}$ 上のどの点よりも遠くないための条件は

∣ a - 2∣ ≦ \frac{a ^{2}}{5} + 1 .

両辺は非負なので2乗してよく、整理すると

4 a^{2} - 20 a + 15 ≦ 0.

その解は

\frac{5 - 10}{2} ≦ a ≦ \frac{5 + 10}{2} .

これと $0 < a ≦ 5/2$ の共通部分を取って

\frac{5 - 10}{2} ≦ a ≦ \frac{5}{2}

を得る。

解法2（最短線分が接線の法線になることを使う）

(1)

$C_{1}$ の点 $P = (x, y)$ では $y \neq = 0$ である。曲線

x^{2} - 4 y^{2} = - 4

の法線ベクトルは $(x, - 4 y)$ と平行である。最短点では $A P$ が接線に垂直だから、ある実数 $λ$ により

(x - a, y) = λ (x, - 4 y) .

第2成分と $y \neq = 0$ から $λ = - 1/4$ であり、第1成分から

x - a = - \frac{x}{4}, x = \frac{4 a}{5} .

双曲線の式へ戻すと

y = \pm \frac{4 a ^{2} + 25}{5} .

距離は

A P = \frac{a ^{2}}{5} + 1

である。

(2)

$C_{2}$ の枝の内部、すなわち $y \neq = 0$ の最短候補にも同じ法線条件を適用できる。したがって

x = \frac{4 a}{5} .

この候補が右側の枝 $x ≧ 2$ にあるのは

a ≧ \frac{5}{2}

のときである。 $a > 5/2$ なら最短点と距離は

P = (\frac{4 a}{5}, \pm \frac{4 a ^{2} - 25}{5}), A P = \frac{a ^{2}}{5} - 1 .

$0 < a ≦ 5/2$ では内部の停留点が枝にないため、右枝の頂点

P = (2, 0)

で最小となり、距離は $∣ a - 2∣$ である。負の枝は、同じ高さの正の枝より $A = (a, 0)$ から遠いので最小候補にはならない。

(3)

$(2, 0)$ が全体の最短点となる条件は

0 < a ≦ \frac{5}{2}

かつ

(a - 2)^{2} ≦ \frac{a ^{2}}{5} + 1

である。後者を整理すると

4 a^{2} - 20 a + 15 ≦ 0,

よって

\frac{5 - 10}{2} ≦ a ≦ \frac{5 + 10}{2} .

2条件の共通部分は

\frac{5 - 10}{2} ≦ a ≦ \frac{5}{2}

である。

岡山大学 2020年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（距離の2乗を1変数の2次式にする）

解法2（最短線分が接線の法線になることを使う）

解答

解法1（距離の2乗を1変数の2次式にする）

(1)

(2)

(3)

解法2（最短線分が接線の法線になることを使う）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2020年度
理系数学第4問