岡山大学 2020年度 前期文系数学 第3問

(1)

円の方程式を平方完成すると$$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=9$$となる。したがって$$P=(2,2),\text{半径}=3$$である。

(2)

点 $P=(2,2)$ から直線 $l$ までの距離を $d$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d}& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\mid }3\cdot 2-4\cdot 2+a\mathrm{\mid }}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }}{5}\mathrm{.}}\end{array}$$円の半径は3だから、$d<3,d=3,d>3$ に応じて共有点はそれぞれ2個、1個、0個である。よって$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& \text{共有点の個数}\\ -13<a<17& 2\\ a=-13,17& 1\\ a<-13,17<a& 0\end{array}$$となる。

(3)

接する条件は$$\frac{\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }}{5}=3,$$すなわち $a=-13,17$ である。いま $a>0$ だから$$a=17$$であり、接線は $3x-4y+17=0$ である。

点 $P$ で直線の左辺を計算すると$$3\cdot 2-4\cdot 2+17=15.$$直線の法線ベクトルは $(3,-4)$ だから、反射点は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q}& {\displaystyle =(2,2)-2\frac{15}{3^2+(-4{)}^2}(3,-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-\frac{8}{5},\frac{34}{5})\mathrm{.}}\end{array}$$位置関係は次図のようになる。

ここで$$\overrightarrow{OP}=(2,2),\overrightarrow{OQ}=(-\frac{8}{5},\frac{34}{5})\mathrm{.}$$内積と行列式の絶対値は$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{52}{5},\mathrm{\mid }\det (\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})\mathrm{\mid }=\frac{84}{5}\mathrm{.}$$内積が正なので $\mathrm{\angle }POQ$ は鋭角であり、$$\tan \mathrm{\angle }POQ=\frac{84\mathrm{/}5}{52\mathrm{/}5}=\frac{21}{13}$$である。

直線の式から $y$ を消去し、円との共有点を与える2次方程式の判別式を調べる。接するときは重解から接点 $T$ を求め、$T$ が $PQ$ の中点であることを使う。角は2直線の傾きから計算する。

(1)

平方完成により$$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=9$$だから、中心は $P=(2,2)$、半径は3である。

(2)

直線上では$$y=\frac{3x+a}{4}$$である。これを円の方程式へ代入して16倍すると$$25x^2+(6a-112)x+(a-8{)}^2-80=0.$$この2次方程式の判別式を $D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(6a-112{)}^2-100\{(a-8{)}^2-80\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =64\{225-(a-2{)}^2\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $D>0,D=0,D<0$ を調べれば、共有点の個数は$$\{\begin{array}{ll}2& (-13<a<17),\\ 1& (a=-13,17),\\ 0& (a<-13,17<a)\end{array}$$となる。

(3)

$a>0$ で接するから $a=17$ である。このとき上の2次方程式は重解をもち、その解は$$x=-\frac{6a-112}{50}=\frac{1}{5}\mathrm{.}$$したがって接点は$$T=(\frac{1}{5},\frac{22}{5})\mathrm{.}$$反射の定義から $T$ は線分 $PQ$ の中点なので$$Q=2T-P=(-\frac{8}{5},\frac{34}{5})\mathrm{.}$$直線 $OP$ の傾きは1、直線 $OQ$ の傾きは $-17\mathrm{/}4$ である。2直線のなす鋭角を $\varphi$ とすると$$\tan \varphi =\mid \frac{-17\mathrm{/}4-1}{1+1\cdot (-17\mathrm{/}4)}\mid =\frac{21}{13}\mathrm{.}$$両ベクトルの内積は正であるから $\varphi =\mathrm{\angle }POQ$ であり、求める値は$$\frac{21}{13}$$である。