問題
実数 に対し、円 と直線 を
で定める。原点を 、円 の中心を とする。次の問いに答えよ。
(1) 円 の半径と中心 の座標を求めよ。
(2) 円 と直線 の共有点の個数を、 の値によって分類せよ。
(3) であり、直線 が円 に接しているとする。直線 に関して点 と対称な点を とするとき、 を求めよ。
方針
解法1（中心から直線までの距離と反射公式を使う）
円の方程式を平方完成し、中心から直線までの距離を半径3と比較する。(3)では正の接線パラメータを選び、法線ベクトル方向へ点を移す反射公式で を求める。最後は2本のベクトルの内積と行列式から角の正接を計算する。
解法2（連立方程式の判別式と接点を使う）
直線の式から を消去し、円との共有点を与える2次方程式の判別式を調べる。接するときは重解から接点 を求め、 が の中点であることを使う。角は2直線の傾きから計算する。
解答
解法1（中心から直線までの距離と反射公式を使う）
(1)
円の方程式を平方完成すると
となる。したがって
である。
(2)
点 から直線 までの距離を とすると
円の半径は3だから、 に応じて共有点はそれぞれ2個、1個、0個である。よって
となる。
(3)
接する条件は
すなわち である。いま だから
であり、接線は である。
点 で直線の左辺を計算すると
直線の法線ベクトルは だから、反射点は
位置関係は次図のようになる。
ここで
内積と行列式の絶対値は
内積が正なので は鋭角であり、
である。
解法2（連立方程式の判別式と接点を使う）
(1)
平方完成により
だから、中心は 、半径は3である。
(2)
直線上では
である。これを円の方程式へ代入して16倍すると
この2次方程式の判別式を とすると
したがって を調べれば、共有点の個数は
となる。
(3)
で接するから である。このとき上の2次方程式は重解をもち、その解は
したがって接点は
反射の定義から は線分 の中点なので
直線 の傾きは1、直線 の傾きは である。2直線のなす鋭角を とすると
両ベクトルの内積は正であるから であり、求める値は
である。