大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
条件 $${\displaystyle \frac{QC}{AQ}}={\displaystyle \frac{t-1}{2t-1}}$$ より $AQ:QC=(2t-1):(t-1)$ である。点 $Q$ は線分 $AC$ 上の内分点なので、$$Q=({\displaystyle \frac{2t-1}{3t-2}},{\displaystyle \frac{t-1}{3t-2}})$$ である。

直線 $PQ$ は $P(t,0)$ を通るから $x+(3t-1)y-t=0$ と表せる。実際、$P$ を代入すると $t-t=0$ であり、上の $Q$ を代入しても $${\displaystyle \frac{2t-1}{3t-2}}+(3t-1){\displaystyle \frac{t-1}{3t-2}}-t=0$$ となる。

この直線の方程式に $$(x,y)=({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3t-1}{3}}-t=0$$ となり、任意の $t>1$ で成り立つ。したがって、すべての直線 $PQ$ は定点 $({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$ を通る。

(2)
直線 $AB$ は $y=x+1$ である。これと $x+(3t-1)y-t=0$ を連立する。$y=x+1$ を代入すると $3tx+2t-1=0$ なので $$R=(-{\displaystyle \frac{2t-1}{3t}},{\displaystyle \frac{t+1}{3t}})$$ である。

$AB$ と $AC$ の方向ベクトルはそれぞれ $(-1,-1)$、$(1,-1)$ で、
内積が0だから $AB\perp AC$ である。$Q\in AC,R\in AB$ より
$\mathrm{△}AQR$ は $A$ を直角とする。また座標から$$AQ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2t-1)}{3t-2}},AR={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2t-1)}{3t}}\mathrm{.}$$したがって$$S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}AQ\cdot AR={\displaystyle \frac{(2t-1{)}^2}{3t(3t-2)}}\mathrm{.}$$(3) $t>1$ では $3t(3t-2)>0$ である。したがって不等式は分子を比較すればよい。

まず$$S(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{(2t-1{)}^2-t(3t-2)}{3t(3t-2)}}={\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{3t(3t-2)}}>0$$である。また$${\displaystyle \frac{4}{9}}-S(t)={\displaystyle \frac{4t(3t-2)-3(2t-1{)}^2}{9t(3t-2)}}={\displaystyle \frac{4t-3}{9t(3t-2)}}>0$$である。よって ${\displaystyle \frac{1}{3}}<S(t)<{\displaystyle \frac{4}{9}}$ が成り立つ。

$AB\perp AC$ を使えば、面積は $AQ$ と $AR$ の積で求まる

直線 $PQ$ の切片を直接計算し、係数を $t$ の一次式として
分離して定点を求める。面積は $AB\perp AC$ を使い、
$AQ,AR$ の長さから直角三角形の面積として計算する。
最後の評価は分子との差を平方または正の一次式へ因数分解する。

(1)
内分公式から$$Q=({\displaystyle \frac{2t-1}{3t-2}},{\displaystyle \frac{t-1}{3t-2}})\mathrm{.}$$$P(t,0)$ と $Q$ を通る直線を整理すると$$x+(3t-1)y-t=0,$$すなわち$$(x-y)+t(3y-1)=0$$である。これが全ての $t>1$ で成り立つ点では
$x-y=0,3y-1=0$ だから、定点は$$({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$$である。

(2)
$AB$ は $y=x+1$ である。上の直線との交点は$$R=(-{\displaystyle \frac{2t-1}{3t}},{\displaystyle \frac{t+1}{3t}})\mathrm{.}$$$AB\perp AC$ であり、$Q\in AC,R\in AB$ だから
$\mathrm{△}AQR$ は $A$ を直角とする。内分比と座標から$$AQ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2t-1)}{3t-2}},AR={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2t-1)}{3t}}$$である。よって$$S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}AQ\cdot AR={\displaystyle \frac{(2t-1{)}^2}{3t(3t-2)}}\mathrm{.}$$(3)
$t>1$ では分母が正であり、$$S(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{3t(3t-2)}}>0,$$$${\displaystyle \frac{4}{9}}-S(t)={\displaystyle \frac{4t-3}{9t(3t-2)}}>0.$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{3}}<S(t)<{\displaystyle \frac{4}{9}}$$である。