大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$P=(a,1\mathrm{/}a)$、$Q=(b,1\mathrm{/}b)$、$R=(b,1\mathrm{/}a)$ とする。座標による三角形の面積公式から$$[PQR]={\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{2ab}},[OPQ]={\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2ab}}\mathrm{.}$$従って$$k={\displaystyle \frac{b-a}{a+b}},{\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{1+k}{1-k}}\mathrm{.}$$特に $0<k<1$ である。

$y=1\mathrm{/}x$ の $x=t$ における接線は$$y=-{\displaystyle \frac{x}{t^2}}+{\displaystyle \frac{2}{t}}$$である。$t=a,b$ の二接線の交点を $S=(X,Y)$ とすると、連立して$$X={\displaystyle \frac{2ab}{a+b}},Y={\displaystyle \frac{2}{a+b}}\mathrm{.}$$従って$$XY={\displaystyle \frac{4ab}{(a+b{)}^2}}=1-k^2\mathrm{.}$$また $X,Y>0$ である。

逆に $XY=1-k^2$、$X,Y>0$ を満たす点を取り、$$r={\displaystyle \frac{1+k}{1-k}},a={\displaystyle \frac{X(1+r)}{2r}},b=ra$$と置けば、上の式から接線の交点は $(X,Y)$ になる。よって軌跡は$$xy=1-k^2,x>0,y>0$$である。

初めから $b=ra$ と置く。面積比で $r$ を決めると、接点は一つの倍率 $a$ だけで動く。交点座標を $a,r$ で表し、$a$ を消去する。

$r=b\mathrm{/}a>1$ と置く。二三角形の底と高さを座標から求めると$${\displaystyle \frac{[PQR]}{[OPQ]}}={\displaystyle \frac{(r-1{)}^2}{r^2-1}}={\displaystyle \frac{r-1}{r+1}}\mathrm{.}$$従って$$r={\displaystyle \frac{1+k}{1-k}}$$は一定である。

接点の $x$ 座標が $t$ のとき、接線は $ty=2-x\mathrm{/}t$ と書ける。$t=a,ra$ の二式を連立すると$$S=({\displaystyle \frac{2ra}{1+r}},{\displaystyle \frac{2}{a(1+r)}})\mathrm{.}$$$a>0$ を動かすと第一座標は $a$ に比例し、第二座標は $a$ に反比例する。その積は$${\displaystyle \frac{4r}{(1+r{)}^2}}=1-k^2\mathrm{.}$$従って $S$ は正の枝$$xy=1-k^2,x>0,y>0$$上を動く。逆にこの枝上では第一座標から正の $a$ が一意に決まり、第二座標も積の式で一致するため、枝全体が実現される。