大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

2つの半径1の球の中心を $O_1,O_2$ とする。2つの球は接しているので $O_1{O}_2=2$ である。

半径 $r$ の球が両方の半径1の球に接するなら、その中心は $O_1,O_2$ からともに $1+r$ だけ離れている。したがって、その中心は $O_1{O}_2$ の垂直二等分平面上にある。

この平面上で、小球の中心が並ぶ円の半径を $\rho$ とする。$O_1{O}_2$ の中点から $O_1$ までの距離は $1$ であるから、直角三角形より ${\rho }^2+1^2=(1+r{)}^2$ である。よって ${\rho }^2=r^2+2r$ を得る。

8個の小球はすべて両隣りと接するので、隣り合う小球の中心間距離は $2r$ である。同じ円周上で隣り合う弦の長さがすべて等しいため、8個の中心は半径 $\rho$ の円に内接する正八角形の頂点になる。正八角形の1辺は $2\rho \sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ だから $$2r=2\rho \sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ すなわち $$r=\rho \sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ である。

これを二乗して ${\rho }^2=r^2+2r$ を代入すると $$r^2=(r^2+2r){\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ である。$r>0$ なので $r$ で割って $$r(1-{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}})=2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ となる。したがって $$r=2{\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ である。

また $$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}=\sqrt{2}-1$$ より $$r=2(\sqrt{2}-1{)}^2=6-4\sqrt{2}$$ である。

8個の中心は正八角形を作り、中心角は $\pi \mathrm{/}4$

小球中心の円を上から見て正八角形を作り、隣接する2中心と
円の中心が作る二等辺三角形に余弦定理を使う。
得られた弦長の式と、2つの大球の中心を含む直角三角形の式を
連立して $r$ を直接解く。

小球の中心が並ぶ円の半径を $\rho$ とする。大球の中心間距離は
$2$ であり、小球中心から各大球中心までの距離は $1+r$ だから$${\rho }^2+1=(1+r{)}^2,{\rho }^2=r^2+2r\mathrm{.}$$8個の小球中心は正八角形の頂点であり、隣接中心が円の中心に
張る角は $\pi \mathrm{/}4$ である。余弦定理から$$(2r{)}^2=2{\rho }^2(1-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}})=(2-\sqrt{2}){\rho }^2\mathrm{.}$$${\rho }^2=r^2+2r$ を代入し、$r>0$ で割ると$$4r=(2-\sqrt{2})(r+2)\mathrm{.}$$これを解けば$$r=6-4\sqrt{2}$$を得る。