大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

辺の長さと面積は$$OA=2,OB=4,AB=2\sqrt{3},[OAB]=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$半周長は $3+\sqrt{3}$ だから、内接円の半径 $\rho$ は$$\rho ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}=\sqrt{3}-1.$$内心を $I=(h,k,0)$ とする。頂点を対辺長で重みづけする公式から$$I=(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,0)\mathrm{.}$$球の中心を $C=(h,k,t)$、半径を $R$ とする。球が $z$ 軸に接するので、中心と $z$ 軸の距離が半径に等しく$$R^2=h^2+k^2\mathrm{.}$$ここで$$h^2+k^2=4(\sqrt{3}-1{)}^2$$だから$$R=2(\sqrt{3}-1)\mathrm{.}$$また、$xy$ 平面の切り口半径が $\rho$ であることから$$R^2=t^2+{\rho }^2\mathrm{.}$$したがって$$t^2=3(\sqrt{3}-1{)}^2,t=\pm (3-\sqrt{3})\mathrm{.}$$よって球の中心と半径は$$C=(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,\pm (3-\sqrt{3})),R=2(\sqrt{3}-1)\mathrm{.}$$

三角形の三辺を直線の方程式で表し、内心から各辺までの距離が等しいことを用いる。その後、球の方程式と接線条件を連立する。

三角形の三辺を含む直線は$$y=0,\sqrt{3}x-y=0,x+\sqrt{3}y-4=0$$である。内心を $(h,k)$、内接円半径を $\rho$ とすると、三角形の内部では $k>0$ だから $k=\rho$ である。

残る二辺までの距離を等置して$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}h-k}{2}}=k,{\displaystyle \frac{4-h-\sqrt{3}k}{2}}=k\mathrm{.}$$これを解くと$$h=3-\sqrt{3},k=\rho =\sqrt{3}-1.$$球の中心を $C=(h,k,t)$、半径を $R$ とすれば、その方程式は$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2+(z-t{)}^2=R^2$$である。$z$ 軸への接触条件は$$R^2=h^2+k^2=4(\sqrt{3}-1{)}^2$$である。また $z=0$ で切った円の半径が $\rho$ なので$$R^2-t^2={\rho }^2\mathrm{.}$$よって$$R=2(\sqrt{3}-1),t=\pm (3-\sqrt{3})\mathrm{.}$$したがって$$C=(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,\pm (3-\sqrt{3})),R=2(\sqrt{3}-1)\mathrm{.}$$