大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

2点 $A,B$ を結ぶ弦の傾きは$${\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b-a}}=a+b$$だから、弦 $AB$ は$$y=(a+b)x-ab+1$$である。放物線は下に凸なので、$a<x<b$ では弦が放物線より上にある。

台形全体の面積は$$T=(b-a)({\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}+1),$$放物線と $x$ 軸の間の面積は$$S={\int }_a^b(x^2+1)dx=(b-a)({\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}}+1)\mathrm{.}$$放物線が台形を2等分する条件は $T=2S$ である。$b-a>0$ で割って整理すると$$b^2+4ab+a^2+6=0.$$これを $b$ について解くと$$b=-2a\pm \sqrt{3a^2-6}\mathrm{.}$$実数解をもつには $a^2\geqq 2$ が必要である。

$a\geqq \sqrt{2}$ なら$$-2a+\sqrt{3a^2-6}<-2a+3a=a$$であり、どちらの解も $b>a$ を満たさない。一方、$a\leqq -\sqrt{2}$ なら$$\sqrt{3a^2-6}<-3a$$なので、小さい方の解についても$$-2a-\sqrt{3a^2-6}>a$$となる。したがって二つの解がともに $b>a$ を満たす。

よって求める範囲と $b$ は$$a\leqq -\sqrt{2},b=-2a\pm \sqrt{3a^2-6}\mathrm{.}$$

上側の領域は、弦と放物線の差が $(x-a)(b-x)$ になることを利用して直接求める。上側の面積と放物線下の面積を等置する。

弦は$$y=(a+b)x-ab+1$$であるから、弦と放物線の高さの差は$$(a+b)x-ab+1-(x^2+1)=(x-a)(b-x)$$である。したがって放物線より上側の面積 $U$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle U}& {\displaystyle ={\int }_a^b(x-a)(b-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、放物線より下側の面積 $L$ は$$L={\int }_a^b(x^2+1)dx=(b-a)({\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}}+1)\mathrm{.}$$二等分条件 $U=L$ と $b-a>0$ から$${\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{6}}={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}}+1.$$整理すると$$b^2+4ab+a^2+6=0$$を得る。よって$$b=-2a\pm \sqrt{3a^2-6}\mathrm{.}$$実数条件は $a^2\geqq 2$ である。さらに $b>a$ を調べると、$a\geqq \sqrt{2}$ では解がなく、$a\leqq -\sqrt{2}$ では両方の符号が条件を満たす。

したがって$$a\leqq -\sqrt{2},b=-2a\pm \sqrt{3a^2-6}\mathrm{.}$$