大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

正三角形の頂点から重心までの距離は $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから、正四面体の高さ $h$ は$$h^2=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}},h={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\mathrm{.}$$(1)
正四面体の内心は高さを頂点側から $3:1$ に分ける。したがって球 $P$ の半径は$$r={\displaystyle \frac{h}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12}}\mathrm{.}$$(2)
球 $Q$ が接する3面の共通頂点を $V$ とする。対称性より、$Q$ の中心は $V$ と内心を結ぶ高さ上にある。

$V$ から高さ上の点までの距離を $x$ とする。3側面までの距離は $x$ に比例する。内心では、頂点からの距離が $3h\mathrm{/}4$、側面までの距離が $h\mathrm{/}4$ だから、その比例定数は $1\mathrm{/}3$ である。よって球 $Q$ の半径は$$\rho ={\displaystyle \frac{x}{3}}\mathrm{.}$$両球は外接するので、中心間距離は半径の和に等しい。したがって$${\displaystyle \frac{3h}{4}}-x={\displaystyle \frac{h}{4}}+{\displaystyle \frac{x}{3}}\mathrm{.}$$これを解くと$$x={\displaystyle \frac{3h}{8}},\rho ={\displaystyle \frac{h}{8}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\rho ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{24}}\mathrm{.}$$高さを含む対称断面：中心間距離は $h\mathrm{/}4+h\mathrm{/}8$

体積を『内接球半径×表面積÷3』と表して球 $P$ の半径を求める。頂点を中心とする相似な小四面体を考え、中心位置と接球半径が同じ比で縮むことを使う。

正四面体の1面の面積は $\sqrt{3}\mathrm{/}4$、高さは $\sqrt{6}\mathrm{/}3$ なので、体積と表面積は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}},S=4\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{3}\mathrm{.}$$(1)
内心と各面を結ぶ4個の角すいに分けると$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}rS\mathrm{.}$$したがって$$r={\displaystyle \frac{3V}{S}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12}}\mathrm{.}$$(2)
球 $Q$ が接する3面の共通頂点を $V$ とする。$V$ を中心とし、正四面体と相似な断面を高さ上で考える。頂点から中心までの距離に比例して、3側面に接する球の半径も増える。

球 $P$ の中心までの距離は $3h\mathrm{/}4$、半径は $h\mathrm{/}4$ である。球 $Q$ の中心までの距離をその $t$ 倍とすれば、その半径も$$\rho =t{\displaystyle \frac{h}{4}}$$である。中心間距離は $(1-t)3h\mathrm{/}4$ だから、外接条件より$$(1-t){\displaystyle \frac{3h}{4}}={\displaystyle \frac{h}{4}}+t{\displaystyle \frac{h}{4}}\mathrm{.}$$これを解くと $t=1\mathrm{/}2$ である。よって$$\rho ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{24}}\mathrm{.}$$