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大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

xy平面において，曲線y=x2と
正方形{(x, y):a≦x≦a+1, b≦y≦b+1}が
共通点をもつとき，点(a, b)の存在する範囲を求め，これを図示せよ．

難易度6/ 10計算量3/ 10目安15分

関数、図形と方程式　グラフの概形、範囲評価、場合分け

方針

正方形が放物線と交わる条件を、[a,a+1] における x2 の値域と、縦方向の区間 [b,b+1] が交わる条件に直す。最小値は区間が0を含むかどうかで分かれ、最大値は端点の絶対値が大きい方で決まる。最後は b が下側境界と上側境界の間にある範囲として図示する。

解答

正方形と放物線 y=x2 が共通点をもつことは、ある実数 x が存在して a≦x≦a+1,b≦x2≦b+1 を満たすことと同値である。

区間 a≦x≦a+1 における x2 の最小値を m(a)、最大値を M(a) とする。この区間で x2 が取りうる値全体は m(a)≦y≦M(a) である。したがって縦方向の区間 [b,b+1] と交わる条件は b≦M(a)かつb+1≧m(a) である。すなわち m(a)−1≦b≦M(a) が必要十分条件である。

まず最小値を求める。区間 [a,a+1] がすべて0以下なら右端で最小、0を含めば最小値は0、すべて0以上なら左端で最小である。よってm(a)={(a+1)2(a≦−1),0(−1≦a≦0),a2(0≦a)である。

次に最大値を求める。x2 の最大値は、端点 a と a+1 のうち絶対値が大きい方で決まる。∣a∣≧∣a+1∣ は a≦−1/2 と同値なのでM(a)={a2(a≦−12),(a+1)2(−12≦a)である。

したがって求める範囲は次の通りである。{(a+1)2−1≦b≦a2(a≦−1),−1≦b≦a2(−1≦a≦−12),−1≦b≦(a+1)2(−12≦a≦0),a2−1≦b≦(a+1)2(0≦a).図示すると、上側の境界はb=a2(a≦−12),b=(a+1)2(a≧−12)である。下側の境界は b=(a+1)2−1(a≦−1), b=−1(−1≦a≦0), b=a2−1(a≧0) である。これらの境界を含め、その間を塗った部分が点 (a,b) の存在範囲である。

境界と求める範囲は次図の通りである。

別解

解法2（正方形の左下頂点を掃引する）

方針

放物線上の点 (t,t2) を1つ固定する。その点を含む単位正方形の左下頂点 (a,b) は長方形 [t−1,t]×[t2−1,t2] を動く。これを t で掃引し、上下の包絡線を求める。

解答

放物線上の点 (t,t2) が単位正方形に含まれる条件はt−1≦a≦t,t2−1≦b≦t2である。したがって、t を固定すると左下頂点 (a,b) は[t−1,t]×[t2−1,t2]という長方形を動く。求める範囲は、これらの長方形をすべて重ねた部分である。

a を固定すると、条件 t−1≦a≦t はa≦t≦a+1となる。したがって、その縦線上で可能な b はmin⁡a≦t≦a+1t2−1≦b≦max⁡a≦t≦a+1t2を満たす。

下側の包絡線は、区間 [a,a+1] が0の左・0を含む・0の右のどこにあるかで{(a+1)2−1(a≦−1),−1(−1≦a≦0),a2−1(0≦a)となる。上側の包絡線は、a と a+1 のうち絶対値の大きい端点で決まり、{a2(a≦−1/2),(a+1)2(−1/2≦a)となる。

よって求める範囲は{(a+1)2−1≦b≦a2(a≦−1),−1≦b≦a2(−1≦a≦−1/2),−1≦b≦(a+1)2(−1/2≦a≦0),a2−1≦b≦(a+1)2(0≦a)であり、境界をすべて含む。

総評

難易度6、計算量3、想定時間16～22分。横区間 [a,a+1] における x2 の値域へ直すのが要点である。最小値の分岐点 −1,0 と最大値の分岐点 −1/2 を混同しない。境界上でも共通点をもつので、すべて等号を含む。包絡線による別解と固定 a の値域計算で同じ4領域を確認した。

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出典: 大阪大学 1985年度 前期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。