大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $f_i$ の次数を $d_i$ とする。どちらも定数でないので $d_1\geqq 1,d_2\geqq 1$ である。

多項式の合成では次数が積になるから $$\mathrm{deg}(f_i\circ f_j)=d_i{d}_j$$ である。一方、仮定より $f_i\circ f_j$ は $f_1$ または $f_2$ に一致するので、その次数は $d_1$ または $d_2$ のどちらかである。 $D=\max (d_1,d_2)$ とする。もし $D\geqq 2$ なら、次数 $D$ の多項式を自分自身と合成したものの次数は $D^2$ である。しかし合成結果は $f_1$ または $f_2$ のどちらかなので次数は高々 $D$ でなければならない。これは $D^2>D$ に反する。
したがって $D=1$ であり、$d_1=d_2=1$ である。

(2)
(1) より $f_1,f_2$ は1次式であり、さらに $f_1(1)=f_2(1)=1$ だから $$f_1(x)=\alpha (x-1)+1,f_2(x)=\beta (x-1)+1$$ と表せる。ただし定数でないので $\alpha \mathrm{\ne }0$, $\beta \mathrm{\ne }0$ である。

この形の1次式を合成すると、傾きの部分は積になる。実際、$$\{\alpha (x-1)+1\}\circ \{\beta (x-1)+1\}=\alpha \beta (x-1)+1$$ である。したがって ${\alpha }^2,\alpha \beta ,{\beta }^2$ はいずれも $\alpha$ または $\beta$ に等しくなければならない。

まず $\alpha =\beta$ のとき、${\alpha }^2=\alpha$ である。かつ $\alpha \mathrm{\ne }0$ なので $\alpha =1$ である。したがって $f_1(x)=f_2(x)=x$ を得る。

次に $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ とする。$\alpha \beta$ は $\alpha$ または $\beta$ に等しい。もし $\alpha \beta =\alpha$ なら $\beta =1$、もし $\alpha \beta =\beta$ なら $\alpha =1$ である。
たとえば $\beta =1$ の場合、${\alpha }^2$ は $\alpha$ または $1$ である。$\alpha \mathrm{\ne }1$ なので ${\alpha }^2=\alpha$ は不可能であり、${\alpha }^2=1$ から $\alpha =-1$ である。$\alpha =1$ の場合も同様に $\beta =-1$ である。

以上より、求める組は $$(f_1(x),f_2(x))=(x,x),(2-x,x),(x,2-x)$$ である。
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合成で閉じた二つの多項式を有限半群とみる。(1) は次数全体が積で閉じる有限集合になるため、
最大次数を自乗しても増えないことから次数 $1$ を得る。(2) は不動点 $1$ を原点へ移し、
傾きの集合が積で閉じる一元または二元の非零実数集合であることを利用して分類する。

(1) $d_i=\mathrm{deg}{f}_i$ とおく。$d_1,d_2$ は正の整数であり、
合成すると次数は積になる。したがって集合 $D=\{d_1,d_2\}$ は積について閉じている。
その最大値を $m$ とすると $m^2\in D$ である一方、最大値の定義から $m^2\leqq m$ である。
$m\geqq 1$ だから $m=1$ となり、$d_1=d_2=1$ である。

(2) (1) と $f_i(1)=1$ より$$f_1(x)=\alpha (x-1)+1,f_2(x)=\beta (x-1)+1$$と書ける。ただし $\alpha \beta \mathrm{\ne }0$ である。合成したときの傾きは積だから、
$A=\{\alpha ,\beta \}$ は積について閉じている。

まず $\alpha =\beta$ なら、${\alpha }^2=\alpha$ より $\alpha =1$ である。
次に $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ とする。$\alpha \beta$ は $\alpha$ または
$\beta$ に等しいので、$\beta =1$ または $\alpha =1$ である。
例えば $\beta =1$ なら、${\alpha }^2\in \{\alpha ,1\}$ である。
${\alpha }^2=\alpha$ は $\alpha =1$ を与えて相異なるという仮定に反するから、
${\alpha }^2=1$、すなわち $\alpha =-1$ である。もう一方も同様である。

よって求める順序つきの組は$$(f_1(x),f_2(x))=(x,x),(2-x,x),(x,2-x)$$の三つである。